22 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
etwas verhüllt, dafs anstatt der pten Wurzel der Einheit eine unbestimmte 
Variable x angewendet wird, was zur Folge hat, dafs Congruenzen unter 
ganzen rationalen Funktionen von x nach dem Modul 1+ x-+x° +... +?! 
angewendet werden müssen, anstatt deren man nur einfache Gleichungen 
erhält, wenn dem x der specielle Werth einer primitiven pten Wurzel der 
Einheit gegeben wird. Diese Vereinfachung des sechsten Gaufsischen Be- 
weises hat zuerst Jacobi ausgeführt und im Jahre 1827 an Legendre 
brieflich mitgetheilt, welcher sie im Jahre 1830 in die dritte Ausgabe seiner 
theorie des nombres aufgenommen hat. Mit dieser Jacobischen Darstellung 
des Gaufsischen Beweises stimmt auch ein von Cauchy in Ferussae bulletin 
im Jahre 1829 gegebener Beweis des Reciprocitätsgesetzes im Wesentlichen 
überein. Eisenstein, welchem Jacobi’s und Cauchy’s Arbeiten über 
diesen Gegenstand unbekannt geblieben waren, hat denselben Beweis im 
Jahre 1544 in Crelle’s Journal, Bd. 28, pag. 41, reproducirt. 
Die aufserdem noch zu erwähnenden Beweise des quadratischen Re- 
ciprocilätsgesetzes hängen alle mit der Theorie der Kreistheilung zusammen. 
Am nächsten steht den von Jacobi und Cauchy gegebenen Beweisen der- 
jenige, welchen Hr. Liouville im 12ten Bande seines Jourmnal’s, pg. 95, 
aufgestellt hat, dessen Unterschied von jenen hauptsächlich nur darin liegt, 
dafs Hr. Liouville nicht den Ausdruck der Quadratwurzel aus p durch 
eine Summe von pten Wurzeln der Einheit, sondern den Ausdruck als 
Produkt von Differenzen dieser Einheitswurzeln anwendet, welcher, wenn 
man von den fertigen Resultaten der Areistheilung keinen Gebrauch machen 
will, viel leichter unmittelbar herzustellen ist, und darum einen Vorzug vor 
jenem hat. Der Beweis von Hrn. Lebesgue, in Liouville’s Journal, Bd. 3, 
pag. 134, beruht auf der vollständigen Potenzerhebung des Ausdrucks der 
Quadratwurzel aus p durch die Einheitswurzeln, wodurch die 4 (g—1)te 
Potenz von p gewonnen wird, ohne dafs die Vielfachen von q weggelassen 
werden. Die Coefficienten dieser Entwickelung, welche nur drei verschie- 
dene Zahlen sind, werden in bekannter Weise durch die Anzahl der Auf- 
lösungen gewisser Gongruenzen definirt, und aus dem so bestimmten 
Ausdrucke der 1,(g—1)ten Potenz von p wird das Reciprocitätsgesetz für 
die beiden Primzahlen p und q ohne Schwierigkeit erschlossen. An diesen 
Beweis von Hrn. Lebesgue schliefst sich der von Eisenstein, in Crelle’s 
Journal, Bd. 27, pag. 322, gegebene Beweis sehr genau an, obgleich er 
