und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. 23 
scheinbar von ganz anderen Prinzipien ausgeht. Eisenstein gebraucht in 
demselben gewisse Zahlenausdrücke, welche auf combinatorischem Wege 
aus den bekannten Legendreschen Zeichen, deren Werthe nur +1 und —1 
sind, je nachdem eine Zahl Rest oder Nichtrest der anderen ist, zusammen- 
gesetzt werden, und er stellt durch diese die ,(g— 1)te Potenz von p so dar, 
dafs durch Weglassung der Vielfachen von g das Reciproeitätsgesetz gewon- 
nen wird. Betrachtet man aber diese Eisensteinschen Zahlenausdrücke 
näher, so bemerkt man leicht ihren Ursprung aus der Kreistheilung, welchen 
Eisenstein selbst verschwiegen hat, und man erkennt, dafs sie nichts 
anderes sind, als die Coefficienten der Entwickelung einer Potenz des Aus- 
drucks von Vp durch die pten Wurzeln der Einheit, und dafs sie mit den 
von Hrn. Lebesgue durch die Anzahl der Auflösungen gewisser Congru- 
enzen definirten Zahlen wesentlich übereinstimmen. Dieses hat auch Hr. 
Lebesgue, in Liouville’s Journal, Bd. 12, pag. 457, nachgewiesen. 
Für einen der schönsten Beweise dieses von den ausgezeichnetsten 
Mathematikern viel bewiesenen Theorems wird aber derjenige mit Recht 
gehalten, welchen Eisenstein in Crelle’s Journal, Bd. 29, pag. 177, ge- 
geben hat. In diesem wird das Legendresche Zeichen CO) durch Kreisfunk- 
tionen so ausgedrückt, dafs bei der Vertauschung von p und q dieser Aus- 
druck, bis auf eine leicht zu bestimmende Änderung im Vorzeichen, unge- 
ändert bleibt. Dieser Beweis hängt in so fern ebenfalls mit der Theorie 
der Kreistheilung zusammen, als der Ausdruck des 5) nur die Sinus der 
Ir 
Tr 
Vielfachen von 
enthält, welche mit den pten Wurzeln der Einheit ganz 
auf derselben Stufe stehen, auch ist dieser Ausdruck mit dem von Hrn. 
Liouville in seinem Beweise angewendeten Produktausdrucke der Qua- 
dratwurzel aus p nahe verwandt. Wenn dieser Eisensteinsche Beweis schon 
wegen seiner vorzüglichen Eleganz beachtenswerth ist, so wird der Werth 
desselben noch dadurch erhöht, dafs er, wie Eisenstein selbst gezeigt hat, 
ohne besondere Schwierigkeit auch auf die biquadratischen und die kubischen 
Reeiprocitätsgesetze angewendet werden kann, wenn anstatt der Kreisfunk- 
tionen elliptische Funktionen mit bestimmten Moduln angewendet werden. 
Was nun in dem Gebiete der Reciprocitätsgesetze für die Reste und 
Nichtreste höherer Potenzen bisher geleistet worden ist, beschränkt sich 
zwar hauptsächlich nur auf die vollständigen Beweise dieser Gesetze für die 
