24 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
biquadratischen und die kubischen Reste und Nichtreste und darüber hinaus 
nur auf gewisse sehr specielle Fälle, es ist aber grade dieses für die ganze 
weitere Entwickelung der Zahlentheorie von den bedeutendsten Folgen ge- 
wesen, weil dadurch das Gebiet dieser mathematischen Diseiplin unendlich- 
fach erweitert worden ist, nach Gaufs eigenen Worten: ut campus Arith- 
meticae sublimioris infinities quasi promoveatur. Der eben so einfache als 
vielumfassende Gedanke dieser Erweiterung der Zahlentheorie, nämlich die 
Einführung complexer ganzer Zahlen, welche unter denselben Gesichts- 
punkten betrachtet werden können, als die gewöhnlichen ganzen Zahlen, 
ist zuerst in der im Jahre 1828 erschienenen, aber der Göttinger Akademie 
schon im Jahre 1825 übergebenen Abhandlung von Gaufs, über die biqua- 
dratischen Reste, niedergelegt, und in einer zweiten Abhandlung über den- 
selben Gegenstand vom Jahre 1932 weiter ausgeführt. Nach Jacobi’s 
Meinung ist dieser Gedanke nicht aus dem Gebiete der Arithmetik allein 
erwachsen, sondern unter Mitwirkung der Theorie der elliptischen Funk- 
tionen, namentlich der lemniskatischen, für die eine complexe Multiplika- 
tion mit Zahlen von der Form a-++5V—1 und die entsprechende Division 
Statt hat, welche Gaufs für sich schon über ein Vierteljahrhundert eher 
gekannt hat, als sie durch die Arbeiten von Abel und Jacobi ein Allge- 
meingut der Wissenschaft geworden ist. Zwar ist in der Gaufsischen Dar- 
stellung des Gedankens der complexen Zahlen keine Spur dieses von Jacobi 
vermulheten Ursprungs zu finden; da aber Gaufs in seinen Ahandlungen 
mehr darauf ausging, die mathematischen Wahrheiten kunstgerecht aufzu- 
bauen, als sie genetisch zu entwickeln, und da er nach seinem eigenen Aus- 
drucke das Gerüst abtrug, wenn der Bau vollendet war, so läfst sich schwer 
entscheiden, ob wirklich die Lemniskatenfunktionen mit zu den Balken des 
Gerüstes gehört haben, mit dessen Hülfe er dieses unvergängliche Werk 
errichtet hat. In der Theorie der biquadratischen Reste erscheint die Ein- 
führung der complexen Zahlen von der Forın a+5V —1 dadurch motivirt, 
dafs die biquadratischen Reeiprocitätsgesetze für gewöhnliche Primzahlen 
sehr complieirt sind, namentlich für die Primzahlen von der Form 4n +1, 
welche sich als Summen zweier Quadratzahlen darstellen lassen, dafs diese 
Reciprocilätsgesetze aber die einfachste Form annehmen, wenn man die 
gewöhnlichen Primzahlen von der Form p=a’-+-b° in die imaginären Fak- 
toren a+5V — 1 unda— 5V—1 zerlegt, und unter diesen als den für die vor- 
