26 Kunmner: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
Reste in ihrer einfachsten Gestalt hergeleitet und bewiesen hat. Die voll- 
ständige Entwickelung dieser Sätze hat Jacobi aber nur in seinen Vorle- 
sungen über Zahlentheorie, in denen die Lehre von der Kreistheilung den 
eigentlichen Kern bildete, seinen Zuhörern in Königsberg mitgetheilt, durch 
deren Hefte sie sodann weiter verbreitet worden sind. Aufserdem hat 
Jacobi der hiesigen Akademie zwei Mittheilungen darüber in den Jahren 
1837 und 1839 gemacht, welche in den Monatsberichten veröffentlicht sind. 
In der letzteren dieser Mittheilungen spricht er auch die Erwartung aus, 
dafs er aus derselben Quelle eben so die Reciprocitätsgesetze für die fünften 
und achten Potenzen werde ableiten können, eine Erwartung, welche nicht 
erfüllt werden konnte, wie bald näher gezeigt werden soll. 
Aufser Gaufs, Jacobi und Dirichlet hat nur noch Eisenstein 
in diesem Gebiete der kubischen und biquadratischen Reste selbständig 
und mit Erfolg gearbeitet. Seine ersten Beweise, des kubischen Reeiproci- 
tätsgeseizes, in Crelle’s Journal, Bd. 27, pag. 259, und des biquadrati- 
schen, ebendaselbst Bd. 25, pag. 53, sind zwar nur ganz dieselben, welche 
Jacobi mehr als zehn Jahre früher gefunden hatte, auch ist der Beweis des 
biquadratischen Reeiproeitätsgesetzes in Crelle’s Journal, Bd. 28, p. 233, 
welcher dem oben besprochenen ebendaselbst, Bd. 27, pag. 322, entspricht, 
und ebenso wie dieser seine Abstammung aus der Kreistheilung verbirgt, zwar 
scharfsinnig, wie alle Arbeiten Eisenstein’s, aber doch mehr nur scheinbar 
als wirklich originell; aber Eisenstein ist bei diesen nicht stehen geblie- 
ben, sondern hat bald darauf neue Beweise dieser Gesetze gegeben, welche 
mit zu seinen vorzüglichsten Leistungen zu rechnen sind und mit Recht die 
Bewunderung der ersten Mathematiker erregt haben. Es sind diefs die 
schon oben beiläufig erwähnten Beweise, welche die quadratischen , kubi- 
schen und biquadratischen Reeciprocitätsgesetze in ähnlicher Weise umfassen, 
in der Art, dafs zu dem Beweise des kubischen die elliptischen Funktionen 
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mit dem Modul k=sin m” und für die biquadratischen Reste die elliptischen 
Funktionen mit dem Modul k=sin T —=V%, die Lemniskatenfunktionen, 
angewendet werden, also in allen diesen Fällen periodische Funktionen, 
welche für die besonderen den alıquoten Theilen ihrer Perioden entsprechen- 
den Werthe ihrer Variabeln zu Wurzeln algebraischer Gleichungen mit ganz- 
zahligen Coefficienten werden. Es war sehr natürlich, dafs Eisenstein 
