und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. 37 
in dieser Anwendung der periodischen Funktionen die wahre Quelle auch für 
die Reciprocitätsgesetze höherer Potenzreste gefunden zu haben glaubte, so 
dafs er schon eine gröfsere Arbeit über dieselben ankündigte; es ist aber 
weder ihm selbst noch anderen bisher gelungen, mit Hülfe dieser Prineipien 
irgend welche höhere Reeiprocitätsgesetze zu beweisen, oder auch nur auf- 
zufinden. Seine eigenen Bemühungen in dieser Beziehung sind schon an 
den achten Potenzen gescheitert, für deren Reciproeitätsbeziehung er nur 
specielle Resultate hat gewinnen können. Ebenso hat Eisenstein in einer 
späteren Arbeit über die allgemeineu Reeiprocitätsgesetze für die Reste der 
Potenzen, deren Exponent eine beliebige Primzahl ist, welche im Jahre 1850 
durch Jacobi der Akademie mitgetheilt, und in den Monatsberichten der- 
selben veröffentlicht ist, nur einen sehr beschränkten Fall ergründen können, 
nämlich denjenigen, in welchem eine der beiden zn vergleichenden Prim- 
zahlen eine nichtcomplexe ist. Er hat dazu auch nicht die Prinzipien ge- 
braucht, auf welche er früher seine Hoffnung gesetzt hatte, sondern nur die 
Mittel der Kreistheilung angewendet, und zwar die von mir gefundenen Aus- 
drücke, welche die complexen Zahlen der Kreistheilung, in ihre wirklichen 
oder idealen Primfaktoren zerlegt, darstellen. Endlich ist noch eine Arbeit 
von Eisenstein zu erwähnen, in Crelle’s Journal, Bd. 39, pg. 351, in 
welcher er darauf ausgeht, die allgemeinen Reeiprocitätsgesetze durch Induk- 
tion zu finden. Der Weg, den er dabei einschlägt, hat aber nicht zum Ziele 
geführt und überhaupt kein Resultat ergeben. 
Der wahre Grund, warum alle die hier genannten sehr verschiedenen, 
scharfsinnigen und für die quadratischen, kubischen und biquadratischen 
Reste auch durchaus sachgemäfsen Methoden auf die Erforschung der höhe- 
ren Reciprocitätsgesetze entweder gar keine, oder doch nur eine sehr be- 
schränkte Anwendung gestattet haben, liegt in einem eigenthümlichen Um- 
stande, welcher für die, diesen Gesetzen zu Grunde zu legenden complexen 
Zahlen eintritt, sobald man über die vierten Potenzen hinausgeht, nämlich 
in der unendlichen Anzahl der Einheiten. Die complexen Primzahlen haben 
in Beziehung darauf, ob sie Reste oder Nichtreste sind, ganz andere Cha- 
raktere, je nachdem man die Einheiten, mit welchen sie behaftet sein kön- 
nen, anders und anders wählt; die einfachsten Reeciprocitätsgesetze lassen 
sich darum erst dann aufstellen, wenn man diese Einheiten den richtigen 
Bestimmungen unterworfen hat, d.h. wenn man die complexen Primzahlen 
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