98 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
um die es sich handelt, in derjenigen Form gewählt hat, welche für die vor- 
liegende Frage die angemessenste ist. Da ferner die Reciprocitätsgesetze 
für die Aten Potenzreste, wo A als Primzahl angenommen wird, zwischen je 
zwei aus Aten Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Primzahlen auf- 
gestellt werden müssen, so gehört zur Erforschung dieser Gesetze nothwen- 
dig eine vollständige Theorie dieser complexen Zahlen, namentlich ihrer 
Primfaktoren und Einheiten. Es gehört dazu auch wesentlich die von mir 
in die Zahlentheorie eingeführte Erweiterung des Gaufsischen Prinzips durch 
die idealen Zahlen, ohne welche die complexen Zahlen in den meisten 
Fällen gar keine wahren Primfaktoren haben würden, nämlich keine solchen, 
welche in einer gegebenen complexen Zahl als die unveränderlichen Elemente 
derselben enthalten sein müfsten. Es gehört selbst die Kenntnifs der Klas- 
senanzahl dieser idealen Zahlen dazu, und die Unterscheidung derjenigen 
Exponenten A, für welche diese Klassenanzahl durch A nicht theilbar ist, von 
denjenigen, welchen eine durch A theilbare Klassenanzahl zukommt, so wie 
auch die Kenntnifs der besonderen Eigenschaften, welche die Einheiten be- 
sitzen, je nachdem der Wurzelexponent A der einen oder der anderen Art 
angehört. Erst nachdem ich diese ganze Theorie der aus Aten Wurzeln der 
Einheit gebildeten complexen Zahlen, und zwar mit der schon in mei- 
ner ersten Schrift über diesen Gegenstand ausgesprochenen Absicht, sie 
für die höheren Reeiprocitätsgesetze benutzen zu können, in hinrei- 
chender Vollständigkeit erarbeitet hatte, ging ich an die Erforschung 
dieser Gesetze selbst, und es gelang mir im Jahre 1847 dieselben für die 
Reste der Aten Potenzen, wenn A eine Primzahl ist, für welche die Klassen- 
anzahl der idealen Zahlen durch A nicht theilbar ist, in ihrer einfachsten 
Form aufzufinden. Nachdem ich dieselben durch berechnete Tafeln in 
ziemlich grofser Ausdehnung verificirt hatte, theilte ich sie im Januar 1848 
an Hrn. Dirichlet und Jacobi und später, im Mai 1850, auch der Königl. 
Akademie mit, m.s. die Monatsberichte. Es blieb nun noch übrig, die 
gefundenen Gesetze zu beweisen. Das Mittel, zu welchem ich in dieser Ab- 
sicht zuerst griff, war die Theorie der Kreistheilung, welche bereits die 
einfachsten Beweise aller bisher ergründeten Reeciprocitätsgesetze geliefert 
hatte, und von welcher ich um so mehr erwarten konnte, da sie durch 
meine Arbeiten über complexe Zahlen wesentlich gefördert worden war. 
Ich fand auch in der That durch dieses Mittel die einfachen Beweise der 
