und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. 29 
Ergänzungssätze zu dem allgemeinen Reeciprocitätsgesetze, nämlich die Cha- 
raktere oder die Indices der Einheiten und der Zahl 1—a, des Primfaktors 
von A, welche Beweise ich gleichzeitig mit dem, nur durch Induktion erhär- 
teten, allgemeinen Reciprocitätsgesetze der Königl. Akademie mitgetheilt 
habe. Ich erkannte aber bald, dafs die Kreistheilung allein die vollständi- 
gen Reeiprocitätsgesetze für Ate Potenzreste zwischen je zwei complexen 
Primzahlen nicht geben könne, wenn A gröfser als drei ist, oder was das- 
selbe ist, wenn aufser den einfachen Einheiten +1, +«, ...+«*"' unendlich 
viele Einheiten existiren. Der Grund ist der, dafs in allen complexen Zah- 
len der Kreistheilung die conjugirten, wirklichen oder idealen Primfaktoren 
nur in solchen Verbindungen vorkommen, dafs, wenn man einen derselben 
mit einer Einheit E(«), für welche E(«) = E(a”') ist, und die ihm conjugirten 
Primfaktoren mit den entsprechenden conjugirten Einheiten multiplieirt, diese 
complexen Zahlen der Kreistheilung ganz ungeändert bleiben. Wegen dieses 
Umstandes kann die Kreistheilung keine Reciprocitätsgesetze geben, bei denen 
die verschiedene Wahl solcher Einheiten in den complexen Primzahlen einen 
Unterschied des Potenzcharakters bewirkt. Dieses der Theorie der Kreisthei- 
lung unübersteigliche Hindernifs für die Erkenntnifs der allgemeinen Reeipro- 
eitätsgesetze ist auch durch andere Methoden in Jacobi’s und Eisenstein’s 
Arbeiten selbst nicht in irgend einem besonderen Falle besiegt worden. Den 
ersten Schritt über diese Gränze hinaus habe ich in einem Beweise des Recipro- 
eitätsgesetzes für Ate Potenzreste, welches unter je zwei conjugirten complexen 
Primzahlen Statt hat, in Crelle’s Journal, Bd. 50, pag. 212, gemacht, und zwar 
mit Hülfe gewisser, aus Einheiten gebildeter Ausdrücke, welche die Lagran- 
gesche Resolvente der Kreistheilung als speciellen Fall in sich enthalten, und 
darum als eine Verallgemeinerung der Kreistheilung angesehen werden kön- 
nen. Aber auch dieses neue, für die Theorie der complexen Zahlen über- 
haupt sehr nützliche Instrument, welches in der gegenwärtigen Untersuchung 
ebenfalls vielfache Anwendung finden wird, hat mir die vollständigen Be- 
weise der Reeiprocitätsgesetze nicht gegeben, und ich habe mich endlich 
genöthigt gesehen, den bis dahin eingeschlagenen Weg der Verallgemeinerung 
der Kreistheilung aufzugeben und andere Mittel und Wege aufzusuchen. Ich 
wendete meine Aufmerksamkeit auf die Methode des zweiten Gaufsischen 
Beweises des Zheorema fundamentale, welcher auf der Theorie der quadra- 
tischen Formen beruht. Dieser Beweis, obgleich seine Methode bis dahin 
