30 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
auf die quadratischen Reste beschränkt geblieben war, schien mir in seinen 
Prinzipien denjenigen Charakter der Allgemeinheit zu haben, welcher hoffen 
liefs, dafs dieselben mit Erfolg auch auf die Untersuchung der Reste höherer 
Potenzen möchten angewendet werden können, und diese meine Erwartung 
ist in der That erfüllt worden. 
Der Hauptnerv dieses zweiten Gaufsischen Beweises liegt in der Ein- 
theilung der Klassen der quadratischen Formen einer gegebenen Determi- 
nante in Genera, welche durch die Charaktere der Klassen bestimmt sind, 
und namentlich darin, dafs die Anzahl der wirklich vorhandenen Genera 
nur höchstens halb so grofs ist, als die Anzahl der angebbaren, d.h. der- 
jenigen, welche vermöge der vorhandenen Charaktere der Klassen möglicher- 
weise Statt haben könnten. Nachdem dieser Punkt beiGaufs durch die Unter- 
suchung der Classes ancipites festgestellt ist, wird der Beweis des Reeipro- 
citätsgesetzes in der Art geführt, dafs gezeigt wird: wenn dasselbe nicht 
Statt hätte, so müfste die Anzahl der wirklich vorhandenen Genera gröfser 
sein, als die Hälfte der blofs angebbaren. Um nun nach diesen Prinzipien 
die Reciprocitätsgesetze der Reste und Nichtreste der Aten Potenzen zu er- 
gründen, hat man anstatt der Formen des zweiten Grades mit zwei Unbe- 
stimmten hier Formen des Aten Grades mit A Unbestimmten zu Grunde zu 
legen, und zwar Formen, deren Ooefficienten nicht gewöhnliche ganze Zah- 
len, sondern aus Aten Wurzeln der Einheit gebildete complexe ganze Zah- 
len sind. Die Theorie dieser Formen des Aten Grades mufs auch bis zu 
dem Punkte ergründet werden, der in der Theorie der quadratischen Formen 
der Stelle entspricht, an welcher der Gaufsische Beweis seinen Platz gefun- 
den hat, und sogar noch bedeutend weiter, weil der Umstand, dafs in der 
Theorie der Aten Potenzreste nicht nur Reste von Nichtresten, sondern auch 
die Nichtreste von A— 1 verschiedenen Arten zu unterscheiden sind, nöthig 
macht, dafs wenigstens in gewissen Hauptfällen die Anzahl der wirklich vor- 
handenen Genera genau ermittelt, und nicht blofs eine Gränze gefunden 
werde, welche diese Anzahl niemals überschreiten kann. Diese schwer zu 
bewältigende Arbeit hat offenbar der Anwendung der Prineipien dieses Gau- 
fsischen Beweises auf die Untersuchung der höheren Potenzreste bisher ent- 
gegengestanden. Ich selbst würde auch nicht gewagt haben, diese Arbeit 
zu unternehmen, wenn ich nicht die Überzeugung gehabt hätte, dafs gewilse, 
für den vorliegenden Zweck passend zu wählende specielle Formen des Aten 
