32 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
Nachdem ich nun den gegenwärtigen Standpunkt der Wissenschaft 
in der Theorie der Potenzreste, so wie auch die leitenden Gedanken für 
den in derselben zu machenden weiteren Fortschritt angegeben habe, werde 
ich in der gegenwärtigen Abhandlung die Theorie derjenigen complexen 
Zahlen, auf welche der hier zu gebende Beweis der allgemeinen Reciproei- 
tätsgesetze sich gründet, in soweit entwickeln, als es für den vorliegenden 
Zweck nöthig ist, und sodann den Beweis der Reciprocitätsgesetze selbst 
folgen lassen, durch welchen dieselben genau in derjenigen Ausdehnung, 
in welcher ich sie im Mai 1850 der Königlichen Akademie ohne Beweise 
mitgetheilt habe, vollständig nnd streng begründet werden. 
S. 1. 
Definition und allgemeine Eigenschaften der complexen 
Zahlen, welche der gegenwärtigen Untersuchung zu 
Grunde gelegt werden. 
Die in der folgenden Untersuchung in Anwendung kommenden com- 
plexen Zahlen sollen aufser den Wurzeln der Gleichung des A— 1ten Grades 
’+...+.+1=0 
auch die Wurzeln der Gleichung des Aten Grades 
(2.) w" =D («) 
enthalten, in welcher D(«) eine nur die Wurzel « enthaltende ganze com- 
plexe Zahl ist. Wenn diese Zahl D(«), welche als Determinante der, die 
Wurzeln « und w enthaltenden, complexen Zahlen bezeichnet werden soll, 
nicht eine vollständige Ate Potenz ist, so ist diese Gleichung (2.) eine irre- 
ductible, in dem Sinne, dafs sie nicht in Faktoren zerlegt werden kann, 
deren Coefficienten ganze nur die Wurzel « enthaltende complexe Zahlen sind. 
Jede ganze rationale Funktion der Wurzeln « und w mit ganzzahligen 
Coefficienten soll als eine aus diesen Wurzeln gebildete ganze complexe 
Zahl angesehen, und kurz als complexe Zahl in w bezeichnet werden. 
Weil vermöge der Gleichung (2.) die Potenzen von w, welche höher sind, 
als die A— te, durch niedere ersetzt werden können, so folgt, dafs jede 
(615) (a en a 
complexe Zahl in w in die Form 
(3.) FwW)=4A+Aw+Aw+...+A_,W" 
gesetzt werden kann, in welcher die Coeffieienten A, A,, A,, . . . A,_, nur 
