34 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
2,5». .%,_, als Wurzeln genügen müssen. Schreibt man also z statt z, 
und entwickelt nach Potenzen von z, so erhält man 
5) + A Da)e tg! DW) =0 
welche Gleichung als die, der besonderen Art von complexen Zahlen in w 
zu Grunde liegende Gleichung anzusehen ist, in der Art, dafs eine jede 
rationale und ganze Funktion der Wurzeln derselben, welche ganze com- 
plexe Zahlen in « zu Coefficienten hat, als eine complexe Zahl dieser beson- 
deren Art angesehen werden soll. Zur Unterscheidung von den allgemeine- 
ren complexen Zahlen in « sollen die aus den Wurzeln der Gleichung (5.) 
gebildeten, als complexe Zahlen in z bezeichnet werden. 
Nimmt man zwei verschiedene Wurzeln der Gleichung (5.): 
p(i-Dia))  p(l- D@)) 
u) — 
ee a 
Io 1 —Z a’ w ? 
und eliminirt die Gröfse w aus diesen Ausdrücken, so erhält man 
(1— D(e))  » 
(6.) 2,2, - («' 2, er 2.) 
Diese Formel zeigt, wie das Produkt zweier beliebigen, aber ver- 
schiedenen Wurzeln der Gleichung (5.) als lineäre Funktion derselben Wur- 
zeln ausgedrückt wird, und zwar mit Coeffieienten welche ganze complexe 
Zahlen in « sind, weil der Nenner «' —«‘ gegen den Faktor o=1— « des 
Zählers hiuweggehoben werden kann. Es läfst sich aber auch das Quadrat 
einer jeden Wurzel z, als lineäre Funktion aller Wurzeln darstellen; denn 
man hat aus der Gleichung (5.) die Summe aller Wurzeln 
(7.) 3, +23, +2, +..+2_,=%b, 
also wenn man mit z, multiplicirt und die Produkte zweier verschiedenen 
Wurzeln lineär ausdrückt, so erhält man z/ als lineäre Funkion aller Wur- 
zeln und zwar ebenfalls mit ganzen complexen Coefficienten. Da also das 
Produkt je zweier Wurzeln der Gleichung (5.), sie mögen verschieden oder 
auch dieselben sein, als ganze lineäre Funktion aller Wurzeln mit ganzen 
Coeffhicienten sich darstellen läfst, so folgt unmittelbar, dafs dasselbe auch 
für ein jedes l’rodukt beliebig vieler Wurzeln der Fall ist, und darum auch 
für jede ganze rationale Funktion der Wurzeln. Man hat daher folgenden 
Satz: 
(I.) Jede ganze rationale Funktion der Wurzeln z,, 2,, «.- 2,_, 
läfst sich als lineäre Funktion dieser Wurzeln darstellen, und 
