38 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
Fa a Eid), 1.) N). 
Hieraus folgt, dafs 9 "(1—w)' als ganze complexe Zahl in z sich 
darstellen läfst, wenn n eine ganze positive Zahl und kleiner 
alsA ist. 
Die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, dafs die 
allgemeine complexe Zahl F'(w) selbst, und nicht blofs das Afache derselben, 
als ganze complexe Zahl in z mit ganzen Ooefficienten sich darstellen läfst, 
liegen vermöge der Gleichung (2.) darin, dafs die Congruenz 
71 
>, A, («”’ — e*)= 0, mod. Ap, 
0 
für alle Werthe des A=0, 1, 2, ....%— 2 Statt habe, welche, wenn A in 
h— 1 verwandelt und durch «* dividirt wird, auch so dargestellt werden kann: 
11 
(3.) 3, A, («”" —1)=0, mod. ‘p, 
1 
fürh=1,2,3...%—1. Anstatt des Moduls Ag kann man, weil A, abge- 
sehen von einer Einheit, der A— 1ten Potenz von p gleich ist, auch den Mo- 
dul g* wählen. Entwickelt man nun 
a’ = (1—(1—-a”)) 
nach dem binomischen Satze und setzt der Kürze wegen 
1 
SEINE AN (k—-n-+1) A, 
An een 
so geht die Congruenz (3.) in folgende über: 
-G, 1 — a’) + G, 1 — and —_ G, (1 — 2) +... 
(4.) +G_,(1- a’) =0, mod. p*. 
Hebt man aus dieser Congruenz und ihrem Modul den gemeinschaftlichen 
Faktor 1— «” hinweg, und giebt sodann dem A alle Werthe A=1, 2, 3, 
....A— 1, welchen man auch den Werth A = 0 hinzufügen kann, weil für 
diesen die Congruenz identisch erfüllt ist, so erhält man durch Addition: 
G,=0, mod.p'. 
Läfst man nun das erste Glied aus der Congruenz (4.) hinweg, da dasselbe 
congruent Null ist nach dem Modul 9°, hebt sodann den gemeinschaftlichen 
