und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. 39 
Faktor (1 — «”’)? aus dieser Congruenz und dem Modul heraus, und bildet 
die Summe für alle Werthe A =0, 1,2, .... A — 1, so erhält man 
ER N a 
In derselben Weise weiter schliefsend erhält man allgemein 
G,=0, mod. p’*, 
fürk=4, 2, 3, ....%—1. Diese A— 1 Congruenzen müssen also noth- 
wendig erfüllt sein, damit F(w) als ganze complexe Zahl in z sich darstellen 
lasse. Dafs die Erfüllung dieser Congruenzen auch zugleich die hinreichende 
Bedingung hierfür ist, wird leicht gezeigt, wenn man F() nach Potenzen 
von 1 — w entwickelt, wodurch man 
F«)=G+G, 1—-w+G,1-Ww’+..+0G,_, (1- ww)” 
erhält. Wenn nämlich G, = 0, mod. 2°” ist, so ist nach dem oben be- 
wiesenen Satze: dafs og" (1 —w)‘ als ganze complexe Zahl in z sich dar- 
stellen läfst, nothwendig jeder einzelne Theil dieser Entwickelung von F(w), 
und darum auch Zw) selbst, als ganze complexe Zahl in z darstellbar. Das 
gefundene Resultat giebt folgenden Lehrsatz: 
(I.) Die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen 
dafür, dafs eine gegebene ganze complexe Zahl in w: 
Fwv)=A+Aw+ Aw +... +4 _ ww 
als ganze complexe Zahl in z sich darstellen läfst, sind in fol- 
genden A—1 Congruenzen enthalten: 
A,+24,+3A,+4A, +. - +(1—1)A,_,=0, mod. 2°", 
A,+34,+6A, +... nl I RE = 0, mod. ge", 
= ee) —_._ Ne 
N I A, U md. 
A,_,=0. mod. e. 
gas: 
Die den Gleichungswurzeln der complexen Zahlen in # 
entsprechenden Congruenzwurzeln. 
Es sind nun zunächst die Bedingungen zu untersuchen, unter welchen 
eine gegebene complexe Primzahl in «, welche in dieser niederen Theorie 
