40 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
wirklich oder auch ideal sein kann, ein Divisor der Norm einer complexen 
Zahl der höheren Theorie in w ist. Diese Untersuchung wird zugleich auch 
für die Normen der complexen Zahlen in z ausreichen, weil jede ganze com- 
plexe Zahl in z als eine ganze complexe Zahl in w dargestellt werden kann. 
Sei #(«) irgend eine wirkliche oder ideale complexe Primzahl in «, 
jedoch nicht eine von denen, welche in der Determinante D(«) enthalten 
sind und auch nicht die besondere Primzahl o9—=1—.«. Dieselbe sei ein 
Primfaktor der nicht complexen Primzahl q, und es sei { der Exponent, zu 
welchem g gehört, nach dem Modul A, so dafs 7 =1, mod. Aist, und 
der kleinste Exponent welcher dieser Bedingung entspricht, alsdann hat man, 
wie aus der Theorie der complexen Zahlen in « bekannt ist: 
Nyp(a) = H(a) Ha’) Ha’) .... dla’) = dg'. 
Ferner ist für jede nicht durch $(«) theilbare wirkliche complexe Zahl D(«) 
„ oa) 4), | 
D(«) —= D(«) =a«a', mod. g(«), 
wo i eine der Zahlen 0, 1, 2, ....A— 1 ist, und es ist D(«) ein Ater Potenz- 
rest von (a), wenn i=0 ist, ein Nichtrest, wenn i nicht gleich Null ist, 
und zwar ein Nichtrest der iten Klasse. Es sei endlich 
F«W)=A+Aw+ Aw +... +4 _,#w' 
eine beliebige complexe Zahl in w. 
Um nun zu untersuchen, ob $(«a) ein Divisor von NF(w) ist, wird 
F(w) zur gten Potenz erhoben, und zwar in der Art, dafs die den Faktor 
q enthaltenden Glieder dieser gten Potenz weggelassen werden, wodurch 
man eine Congruenz nach dem Modul g erhält('). Weil in einem Polynom, 
welches zur gten Potenz erhoben wird, wenn qg Primzahl ist, aufser den 
qten Potenzen der einzelnen Theile alle übrigen Glieder den Faktor g ent- 
halten, so wird 
Ad) Fe zA2 + Aw + Dow” +... + B_ ww”, mod. g. 
(') Die Congruenz zweier complexen Zahlen in » in Beziehung auf einen Modul, wel- 
cher eine nichtcomplexe Zahl, oder auch eine complexe Zahl in « ist, hat die Bedeutung, 
dals wenn beide Seiten der Congruenz in die oben aufgestellte Normalform gesetzt werden, 
in welche eine gegebene complexe Zahl in » sich nur auf eine einzige Weise setzen lälst, 
die Coefficienten aller A Glieder auf der einen Seite den entsprechenden auf der anderen 
Seite einzeln congruent sein müssen. Dasselbe gilt auch für die Congruenzen unter com- 
plexen Zahlen in z. 
