44 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
NF(w) = F(w) F(we) F(wa?) ..... F(wa’”') 
die Congruenz: 
(7) NF(w) = F(& F(£a) F(£a®) ..... F(£«’”'), mod. $(«e), 
und durch diese folgenden Satz: 
(IV.) Wenn die Norm einer complexen Zahl F(w) durch 
die complexe Primzahl #(«) theilbar ist, für welche D(«) ein 
Ater Potenzrest ist, so ist nothwendig eine der nur « enthal- 
tenden complexen Zahlen F(£a‘), welche man erhält, indem 
man für w eine der entsprechenden Congruenzwurzeln setzt, 
durch &(«) theilbar; 
und umgekehrt: 
Wenn eine complexe Zahl F(w) die Eigenschaft hat, dafs, 
wenn man für w eine der entsprechenden Congruenzwurzeln 
setzt, die daraus entstehende complexe Zahl in « durch &(«a) 
theilbar ist, so ist NF«(w) theilbar durch (ae). 
Setzt man in dem Ausdrucke einer beliebigen complexen Zahl in w 
FW) =A+Aw + Aw +... + A_Ww", 
—1 
für w nach einander die A Werthe w, wa, wa?, ... wa’”' , multiplieirt die so 
erhaltenen Gleichungen der Reihe nach mit 1, a, a”, a”, .... a“ '* und 
addirt, so erhält man: 
F(w) za” F (wa) + a" Fiwa’) +... + a” Fiwa')=AA,W, 
und wenn man anstatt w in dieser Gleichung die Congruenzwurzel £ setzt, 
so hat man die Congruenz: 
F(E) +«” F(&a) + a” F(Ea’) +... + a" F(£a "') 
=rAE, mod. de). 
Wenn nun die complexen Zahlen FX&), F(£«e), F(£«°)..... alle durch $(e) 
theilbar sind, so mufs nothwendig A, =0 sein, nach dem Modul $(«), für 
alle Werthe A=0, 1, 2, ...% — 1, also alle Coeflicienten von F(w) müssen 
durch $(«) theilbar sein. Man hat daher folgenden Satz: 
(V.) Wenn die complexe Zahl F(w) die Eigenschaft hat, 
dafs alle diecomplexen Zahlen in «, welche man aus ihr erhält, 
indem man für # dieA entsprechenden Congruenzwurzeln setzt, 
denFaktor $(a) enthalten, so enthält Aw) selbst den Faktor #(e). 
