und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. 45 
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Die idealen Primfaktoren der complexen Zahlen in w und in z. 
Bei der Untersuchung der idealen Primfaktoren der complexen Zah- 
len in « hat man von den complexen Primzahlen in « auszugehen, welche 
innerhalb dieser niederen Theorie selbst ideal oder wirklich sein können, 
und man hat diese mit Hülfe der Wurzeln der Gleichung #* = D(«) weiter 
in diejenigen Faktoren zu zerlegen, welche innerhalb dieser höheren Theorie 
der complexen Zahlen in w als die wahren Primfaktoren anzusehen sind; 
denn die complexen Zahlen in « stehen zu denen in « genau in demselben 
Verhältnifs, wie diese selbst zu den gewöhnlichen ganzen Zahlen stehen: 
was in der niederen Theorie nothwendig als Primzahl angesehen werden 
mufs, wird in der höheren Theorie im Allgemeinen weiter zerlegbar, sei es 
in wirklicher oder in idealer Weise. Wenn also &(«) eine wirkliche oder 
ideale complexe Primzahl in der Theorie der complexen Zahlen in « ist, so 
handelt es sich darum von dem Standpunkte der Theorie der complexen 
Zahlen in w aus, diese Zahl $(«) weiter in diejenigen idealen oder wirk- 
lichen Faktoren zu zerlegen, welche innerhalb dieser höheren Theorie als 
die Primfaktoren anzusehen sind. Wenn nur diejenigen Primzahlen $(«) 
in Betracht gezogen werden, welche in gD(«) nicht enthalten sind, so sind 
dieselben wieder in der Rücksicht besonders zu betrachten: ob für sie die 
Determinante D(«) Nichtrest oder Rest einer Aten Potenz ist. 
Ich stelle nun zunächst für diese beiden verschiedenen Arten der Prim- 
zahlen $(«) die Definitionen der idealen Primfaktoren innerhalb der Theorie 
der complexen Zahlen in w fest, und werde alsdann zeigen, dafs die so defi- 
nirten idealen Primfaktoren die wesentliche und erschöpfende Eigenschaft 
wahrer Primfaktoren besitzen, nämlich die, dafs sie in einer jeden gegebe- 
nen complexen Zahl stets in unveränderlicher Weise enthalten sind, und 
dafs sie in allen Fällen, wo wirkliche Primfaktoren existiren, mit diesen 
vollständig übereinstimmen. 
Definition: Wenn #(«) eine ideale oder wirkliche complexe 
Primzahl innerhalb der Theorie der complexen Zahlen in « 
ist, für welche D(«) ein Nichtrest einer Aten Potenz ist, so soll 
#(«a) auch in der Theorie der complexen Zahlen in w als Primzahl 
angesehen werden. 
