und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. 47 
idealen Primfaktors, überall der Primzahl $(«) selbst gleich genommen 
werden soll. 
Ich beweise nun zunächst, dafs die so definirten idealen Primfaktoren 
der folgenden ersten Bedingung wahrer Primzahlen genügen: 
(l.) Wenn zwei oder mehrere complexe Zahlen einen be- 
stimmten idealen Primfaktor nicht enthalten, so enthält das 
Produkt derselben diesen Primfaktor ebenfalls nicht. 
Es seien F(w) und G(w) zwei complexe Zahlen und H(w) das Produkt 
derselben, also F(w) - G(w) = H(w). Es sei ferner zunächst $(«) eine 
complexe Primzahl der ersten Art, für welche D(«) Nichtrest ist, so ist 
nach der Definition $(«) selbst auch in der Theorie der complexen Zahlen 
in w eine Primzahl. Wenn nun F(w#) und G(w) den Faktor $(«) nicht ent- 
halten, so enthalten nach dem zweiten der im $. 3. bewiesenen Sätze NF(w) 
und NG(w) denselben ebenfalls nicht, und weil diese Normen nur complexe 
Zahlen in « sind, so enthält das Produkt derselben N/w). NG(w) = NH(w) 
diesen Primfaktor $(e) auch nicht, woraus nach demselben erwähnten 
Satze des $.3. folgt, dafs auch Hi) denselben nicht enthält. Es sei nun 
zweitens &(«) eine Primzahl der zweiten Art, für welche D(«) ein Ater Po- 
tenzrest ist, und F(w) so wie G(w) enthalten den zur Congruenzwurzel £«' 
gehörenden idealen Primfaktor des #(«) nicht, so hat man nach der De- 
finition 
Y(wa”) F(w) nicht = 0, 
Y(wa”) G(w) nicht = 0, zung 
Wenn nun eine complexe Zahl in w durch #(«) nicht theilbar ist, so mufs 
dieselbe nach dem letzten Satze des $. 3., wenn man anstatt w die Congru- 
enzwurzeln £, Ea, Ea*, .... Ea*”' setzt, wenigstens für einen dieser Werthe 
durch #(«) nicht theilbar sein; da aber Y(w), wie der Produktausdruck die- 
ser complexen Zahl zeigt, congruent Null wird, sobald für w eine der Con- 
gruenzwurzeln Ea, Zu’, .... Za’”' gesetzt wird, und nur für die eine Sub- 
stitution der Congruenzwurzel £ nicht congruent Null ist, nach dem Modul 
$(a), so folgt, dafs die beiden complexen Zahlen 
Ywa”) F(w) und Ylwa”) G(w) 
für die Substitution der Congruenzwurzel £a‘ anstatt «, nicht congruent 
Null werden, nach dem Modul $(«). Es ist also 
