48 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
v(&) F(£«) nicht = 0, 
Y(£) G(£«) nicht = 0, mod. $(«), 
also auch 
F(£a') nichtt=0, G(£«e‘) nicht = 0, mod. $(«e), 
und weil diese nur complexe Zahlen in « sind, so ist auch 
F(£«a') G(E«) nicht = 0, mod. $(«). 
Enthielte nun aber Fw) G(w) = H(w) den idealen Primfaktor des $(«) 
welcher zur Congruenzwurzel £a® gehört, so müfste nach der Definition sein: 
Y(wa”) F(w) G(w) = 0, mod. $(«), 
also, wenn für # die Congruenzwurzel E«‘ gesetzt wird, so müfste auch 
Y(£) F(E) G(E)= 0, mod. H(e), 
sein, und weil Y(£) nicht congruent Null ist, so müfste 
F(£E«) G(E)=0, mod. $(«) 
sein, welches nicht der Fall ist. Das Produkt F(w) G(w) = H(w) enthält 
also keinen idealen Primfaktor, welcher nicht schon in einem der beiden 
Faktoren enthalten ist, und dieser für das Produkt zweier Faktoren bewie- 
sene Satz wird ohne Schwierigkeit auch auf jedes Produkt einer beliebigen 
Anzahl von Faktoren ausgedehnt. 
Auf diesen soeben bewiesenen specielleren Satz stützt sich nun der 
Beweis des folgenden allgemeineren Satzes: 
(IIL.) Das entwickelte Produkt zweier oder mehrerer com- 
plexer Zahlen in w enthält genau dieselben idealen Primfak- 
toren, und zwar jeden derselben genau so oft, als die Faktoren 
dieses Produkts zusammengenommen. 
Es sei wieder F(w) G(w) = H(w), und es sei erstens $(«) eine 
complexe Primzahl der ersten Art, für welche D(«) Nichtrest einer Aten 
Potenz ist, welche also auch in der Theorie der complexen Zahlen in w als 
Primzahl definirt ist. Diese Primzahl $(«) sei in F(w) genau m mal und 
in G(w) genau n mal enthalten, so dafs man setzen kann: 
F(w) = $#(«)” F,(w), GW) = de)’ G, (m), 
so ist 
Hs) = 9(«* Fy(w) G,(#), 
