50 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
woraus folgt, dafs weder P(w) noch Q(w) diesen idealen Primfaktor enthält, 
und mithin das Produkt derselben ihn ebenfalls nicht enthalten kann, oder 
was dasselbe ist, dafs das Produkt 
Yl(wa”) P(w) O(w) 
den Faktor $(«) nicht enthalten kann. Aus der Gleichung 
Ywa') F(w) G(w) = (4) Pi) Q(w) 
folgt aber: 
v(wa”) Fl) Gk)=e(l) Y(wa*) Pw) O(w), 
und hieraus: 
Ylwa F(w) G(w) nicht = 0, mod. & (a len 5 
also das Produkt 7°(#) G(w#) enthält den zur Congruenzwurzel a“ gehören- 
den idealen Primfaktor des #(«) nicht mehr als m-+n mal. Eine wieder- 
holte Anwendung dieses für zwei Faktoren bewiesenen Satzes zeigt, dafs 
derselbe ebenso für ein Produkt beliebig vieler Faktoren gültig ist. 
S. 5. 
Verhältnifs der idealen complexen Zahlen zu den wirklichen. 
Der in dem vorhergehenden Paragraphen bewiesene Hauptsatz zeigt, 
dafs die idealen Primfaktoren, wie sie oben definirt sind, die erste Grund- 
eigenschaft wahrer Primfaktoren haben, nämlich in einer und derselben Zahl 
in unveränderlicher Weise enthalten zu sein, und unabhängig davon, ob 
diese Zahl in entwickelter Form, oder in Form eines Produkts gegeben ist. 
Es sind nun weiter diejenigen Sätze zu entwickeln, welche die Überein- 
stimmung dieser idealen Primfaktoren mit den wirklichen, wo solche exi- 
stiren, nachweisen, und welche zeigen, welchen Gebrauch man von den 
idealen Primfaktoren, vorzüglich in der Multiplikation und Division der 
complexen Zahlen in w machen kann. 
(l.) Wenn eine complexe Zahl F(w) alle A idealen Prim- 
faktoren einer Primzahl $(«) enthält, für welche die Determi- 
nante D(«) ein Ater Potenzrest ist, und zwar jeden derselben 
mindestens m mal, so ist F(w) durch d(a)” theilbar. 
