52 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
A, A, A,, ... A,_, alle einzeln den Faktor #(«)” enthalten müssen, dafs 
also FXw) durch &(«)” theilbar sein mufs, w. z. b. w. 
(II.) Wenn eine complexe Zahl F(w) genau m ideale Prim- 
faktoren einer Primzahl ®(«) enthält, für welche die Determi- 
nante D(«e) ein Ater Potenzrest ist, dieselben mögen verschieden 
sein, oder auch nicht, so enthält die Norm von F«w) den Faktor 
$(a) genau m mal. 
Die Norm NF(w), als das Produkt der A conjugirten complexen Zah- 
len, mufs nach der Voraussetzung des Satzes jeden der A verschiedenen 
idealen Primfaktoren des p(w) genau m mal enthalten; also mufs sie, ver- 
möge des vorigen Satzes, den Faktor $(«)” enthalten. Dieselbe kann auch 
nicht eine höhere Potenz von $(«) enthalten, weil sie sonst einen jeden der 
A idealen Primfaktoren des $(«) mehr als m mal enthalten müfste. 
Dieser Lehrsatz, verbunden mit dem Lehrsatz II. $. 3., zeigt nicht 
nur, dafs die Anzahl der in einer gegebenen complexen Zahl 
F(w) enthaltenen idealen Primfaktoren stets eine endliche be- 
stimmte ist, sondern er gewährt auch ein leichtes Mittel um zu erkennen, 
wie viele ideale Primfaktoren dieselbe enthält, und von welchen Primzahlen 
in der niederen Theorie der complexen Zahlen in « sie herrühren. Bildet 
man nämlich die Norm N/*w), zerlegt dieselbe als complexe Zahl in « in 
ihre, dieser niederen Theorie angehörenden Primfaktoren, und unterschei- 
det dabei diejenigen Primfaktoren, für welche die Determinante Nichtrest 
einer Aten Potenz ist, von denen, wo sie Rest ist: so mufs erstens die An- 
zahl, wie viel mal eine solche Primzahl der ersten Art in NF««) vorkommt, 
ein Vielfaches von A sein, und wenn dieselbe gleich kA ist, so ist dieser 
ideale Primfaktor, welcher in der höheren Theorie ebenfalls Primfaktor ist, 
genau k mal in IXw) enthalten ; wenn zweitens irgend eine Primzahl der 
zweiten Art genau m mal in der Norm vorkommt, so mufs F\w) selbst noth- 
wendig m ideale Primfaktoren derselben in der höheren Theorie der com- 
plexen Zahlen in w enthalten. Die Norm N/«w) kann aufserdem noch Prim- 
faktoren der Determinante D(«), oder auch den Primfaktor 1 — « enthalten, 
von deren zugehörenden idealen Primfaktoren in der Theorie der complexen 
Zahlen in w aber erst weiter unten die Rede sein wird. 
(II.) Wenn fiw) eine wirkliche complexe Zahl in « ist, 
deren Norm keinen gemeinschaftlichen Faktor mit gD(«) hat, 
