und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. 53 
und F(w) eine andere wirkliche complexe Zahl in w, welche 
alle idealen Primfaktoren des f(w), jeden mindestens eben so 
oft, als f(w) selbst enthält, so ist F(w) durch f(w) theilbar. 
Man kann den Quotienten der beiden Zahlen F\w) und (w#) in fol- 
gende Form setzen: 
F(w) 10) F(»). (wo) f(wo?) .... f(wa*=') 
f(®) Nf(w) 
Wenn nun erstens f(w) irgend einen Primfaktor $(«) n mal enthält, für 
welchen D(«) Nichtrest ist, welcher also in der niederen und in der höheren 
Theorie zugleich Primfaktor ist, so kommt derselbe in dem Nenner Nf(w) 
nothwendig n? mal vor, und eben so viel mal mindestens kommt er auch in 
dem Zähler vor, weil jede der complexen Zahlen fiwa), fiwa*), ... f(wa’‘') 
denselben genau n mal, und F«w) denselben nach der Voraussetzung des 
Satzes mindestens n mal enthält. Jeder solcher Faktor hebt sich also aus 
dem Nenner des Bruches vollständig hinweg. Wenn nun zweitens f(w) 
irgend welche idealen Primfaktoren einer Primzahl der niederen Theorie 
&(a) enthält, für welche D(«) Rest einer Aten Potenz ist, und die Anzahl 
dieser idealen Primfaktoren ist m, so enthält der Nenner Nf(w) den Faktor 
&(a) genau m mal, der Zähler Aw) wa) fiwa”) .... f(wa’”') enthält aber 
alle idealen Primfaktoren des #(«), jeden mindestens m mal, weil F(w) alle 
idealen Primfaktoren des f(w) enthält, also vermöge des Satzes (1I.) enthält 
der Zähler den Faktor #(«) nothwendig m mal, also auch ein jeder solcher 
Faktor mufs sich vollständig aus dem Nenner hinwegheben. Da endlich in 
INf(w) nach der Voraussetzung des Satzes keine anderen, als die hier unter- 
suchten Faktoren vorkommen, indem die in gD(«) enthaltenen ausgeschlossen 
sind, so folgt, dafs der ganze Nenner Vf(w) gegen den Zähler sich hinweg- 
heben mufs, und dafs der Quotient Fee eine ganze complexe Zahhl ist, 
w. z.b. w. 
(IV.) Wenn zwei wirkliche complexe Zahlen in w genau 
dieselben idealen Primfaktoren enthalten, und wenn ihre Nor- 
men keinen gemeinschaftlichen Faktor mit gD(«) haben, so 
unterscheiden sich diese Zahlen nur durch Einheiten, welche 
als Faktoren hinzutreten können. 
Die beiden wirklichen complexen Zahlen, von denen der Satz handelt, 
seien F(w) und fi), so ist vermöge des vorhergehenden Satzes: 
