54 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den. Resten 
F(w) 
f(®) 
wo E(w) eine ganze complexe Zahl ist, und zwar eine wirkliche. Nimmt 
man nun auf beiden Seiten die Normen, so hat man: 
NF(w) = NE(w) » Nf(w). 
Die beiden Normen NF(w) und Nf(w), welche complexe Zahlen in « sind, 
enthalten nun genau dieselben Primfaktoren, auch in dieser niederen Theo- 
rie. Dieselben können sich daher nur durch eine Einheit E(«) unterschei- 
den, und man hat: 
= E(w), F(w) = E(w) flw), 
NF(w) = E(a) Nf(w), 
und diese Gleichung, mit der vorhergehenden verbunden, ergiebt: 
NE(w) = E(«). 
Die ganze complexe Zahl E(w) ist also eine solche, deren Norm eine Ein- 
heit in « ist, sie ist daher eine Einheit in der Theorie der complexen Zahlen 
in w, weil überhaupt als Einheit in dieser Theorie eine jede ganze complexe 
Zahl, deren Norm eine Einheit der niederen Theorie der complexen Zahlen 
in « ist, definirt wird. 
Aus den hier angenommenen Resultaten ergiebt sich nun leicht der 
Satz, welcher noch erfordert wird, um die gegebenen Definitionen der ide- 
alen Primfaktoren zu rechtfertigen, nämlich: 
(V.) In jedem Falle, wo in der Theorie der complexen 
Zahlen in w ein Primfaktor einer Primzahl #(«a) der niederen 
Theorie, für welche D(«) ein Ater Potenzrest ist, als ein wirk- 
licher existirt, und darum als eine complexe Zahl in « defi- 
nirt werden kann, deren Norm, abgesehen von einer Einheit, 
gleich $(«) ist, stimmt die oben gegebene allgemeine Defini- 
tion vollständig mit dieser beschränkteren zusammen. 
Es sei f(w) ein wirklicher complexer Primfaktor der Primzahl $(«) 
der niederen Theorie, also Nf(w)=E(«) p(«a), wo E(«) eine Einheit ist, 
so muls für eine bestimmte Wurzel der Congruenz &'=D(«), mod. #(«), 
welche statt w gesetzt wird, z. B. für die Wurzel £a‘, wie oben $. 3. bewie- 
sen worden, f(&«)=0, mod. #(«), sein, und es ist alsdann f(w) als der 
zur Congruenzwurzel £«* gehörende Primfaktor des #(«) zu bezeichnen. 
