und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. 55 
Wenn nun eine wirkliche complexe Zahl F(w) alle idealen Primfaktoren des 
J(), im vorliegenden Falle also nur den einen zur Congruenzwurzel Ea* 
gehörenden Primfaktor des p(a) enthält, so ist, wie oben gezeigt worden, 
F(w) durch f(w) theilbar, also: 
F(») 
fe) 
wo G(w) eine ganze und wirkliche complexe Zahl ist. Der in F(w) enthal- 
tene ideale Primfaktor tritt also in diesem Falle als der wirkliche heraus. 
Es würde jetzt eigentlich noch übrig sein, auch von den idealen Prim- 
= G(w) oder F(w) = f(w) G(w), 
faktoren derjenigen complexen Primzahlen in « zu handeln, welche in der 
Determinante D(«) enthalten sind, so wie über die Zerlegung von 1—a=p 
in der höheren Theorie der complexen Zahlen in w. Es treten aber bei der 
Zerlegung dieser Primzahlen in einfachere Faktoren der höheren Theorie 
ganz eigenthümliche Umstände ein, welche bewirken, dafs es im Allge- 
meinen unmöglich ist, wahre ideale Primfaktoren der in gD(«) enthaltenen 
complexen Primzahlen anzugeben, welche im vollen Sinne diesen Namen 
verdienen, so wie die hier behandelten; namentlich treten diese störenden 
Umstände immer dann ein, wenn ein Primfaktor mehr als einmal in der De- 
terminante enthalten ist. Für den vorliegenden Zweck ist es aber nicht 
nöthig, die Zerlegung der in g D(«) enthaltenen Faktoren der niederen Theo- 
rie in die idealen Faktoren, welche sie innerhalb der höheren Theorie 
der complexen Zahlen in « haben möchten, näher zu untersuchen. Der 
Ausdruck „idealer Primfaktor” oder „ideale Primzahl” dieser höheren 
Theorie, wird darum überall nur von den im $. 4. definirten idealen Prim- 
faktoren gebraucht werden, deren Normen ausschliefslich nur die in g D(«) 
nicht enthaltenen Primzahlen der niederen Theorie sind. Ebenso soll auch 
der Ausdruck „ideale complexe Zahl” in der höheren Theorie nur von einer 
Zusammensetzung der definirten idealen Primfaktoren gebraucht werden, 
d.h. von dem gleichzeitigen Bestehen beliebig vieler, der die idealen Prim- 
faktoren charakterisirenden Congruenzbedingungen, oder von dem Bestehen 
einer derjenigen Congruenzbedingungen, welche ausdrücken, dafs eine com- 
plexe Zahl einen idealen Primfaktor mehrmals enthält, niemals aber soll von 
idealen Zahlen die Rede sein, deren Normen irgend welche Faktoren mit 
gD(«) gemein haben möchten. Dadurch’soll jedoch die Anwendung wirk- 
licher complexer Zahlen in w oder z nicht ausgeschlossen werden, deren 
