56 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
Normen den Faktor 9 oder Primfaktoren der Determinante D(«) enthalten, 
von denen vielmehr in dem Folgenden mit grofsem Nutzen Gebrauch gemacht 
werden wird. 
S. 6. 
Eintheilung der idealen complexen Zahlen in die Klassen 
und Bestimmung der Klassenanzahl. 
Die idealen Primfaktoren der complexen Zahlen in «, welche in den 
vorhergehenden beiden Paragraphen durch Congruenzbedingungen definirt 
und in ihren wesentlichen Grundeigenschaften betrachtet worden sind, blei- 
ben vollkommen dieselben, wenn man die speciellere Theorie der complexen 
Zahlen in z zu Grunde legt, denn jede ganze complexe Zahl in z ist zugleich 
auch eine g 
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welcher zwei ideale Zahlen äquivalent heifsen, wenn sie mit einer und der- 
anze complexe Zahl in w. Die Definition der Aequivalenz, nach 
selben dritten idealen Zahl zusammengesetzt, wirkliche complexe Zahlen 
ergeben, so wie die allgemeinen Sätze über Zusammensetzung, Aequivalenz 
und Klassifikation der idealen Zahlen, sind sogar nicht nur für die beiden 
Arten der complexen Zahlen in z und in w, sondern für die idealen Zahlen 
aller complexen Theorieen, welche überhaupt existiren, vollständig diesel- 
ben. Es sind diefs die Sätze, welche ich im $. 5. meines Memoire sur la 
iheorie des nombres complexes etc. in Liouville’s Journal, Bd. 16, pg. 439 
etc. von den aus Aten Wurzeln der Einheit gebildeten, und später in einer 
vor der Königlichen Akademie vorgetragenen, in den Abhandlungen vom 
Jahre 1856 gedruckten Abhandlung, auch von den, aus beliebigen Wurzeln 
der Einheiten, deren Wurzelexponenten nicht Primzahlen sind, gebildeten 
complexen Zahlen vollständig bewiesen habe, nämlich folgende: 
(1.) Es giebt stets eine endliche bestimmte Anzahl idealer Multipli- 
katoren, welche hinreichen, um alle idealen Zahlen zu wirklichen zu machen, 
wenn sie mit denselben zusammengesetzt werden, oder die Anzahl aller 
nichtäquivalenten Klassen der idealen Zahlen ist eine endliche bestimmte. 
(II.) Die Eintheilung der nichtäquivalenten idealen Zahlen in die 
verschiedenen Klassen ist von der zufälligen Wahl der idealen Multiplika- 
toren ganz unabhängig. 
(III.) Wenn zwei ideale Zahlen einer dritten äquivalent sind, so 
sind sie unter einander äquivalent. 
