und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. 57 
(IV.) Aequivalente ideale Zahlen mit äquivalenten zusammengesetzt, 
geben äquivalente Produkte. 
(V.) Jede ideale Zahl wird durch Erhebung zu einer bestimmten 
Potenz zu einer wirklichen, und kann daher als Wurzel aus einer wirklichen 
complexen Zahl dargestellt werden. 
(VL) Der Exponent der niedrigsten Potenz einer idealen Zahl, wel- 
che zu einer wirklichen wird, ist ein genauer Theil der Anzahl aller ver- 
schiedenen Klassen. 
Die Beweise dieser Sätze für die Theorie der complexen Zahlen in 
oder z will ich hier unterdrücken, da dieselben gröfstentheils fast wörtlich 
mit den an den angeführten Orten, für die aus Einheitswurzeln gebildeten, 
complexen Zahlen, gegebenen übereinstimmen würden. Nur in dem Beweise 
des ersten Satzes, über die endliche Anzahl der Klassen, müssen gewisse Mo- 
difikationen eintreten, welche jedoch eben so wenig neue principielle Schwie- 
rigkeiten darbieten. Ich kann in Betreff dieser, so wie überhaupt der all- 
gemeinen Sätze, welche allen Theorieen complexer Zahlen gemein sind auch 
auf eine Arbeit von Hrn. Kronecker verweisen, welche nächstens erschei- 
nen wird, in welcher die Theorie der allgemeinsten complexen Zahlen, in 
ihrer Verbindung mit der Theorie der zerlegbaren Formen aller Grade, 
vollständig und in grofsartiger Einfachheit entwickelt ist. 
Man kann auch in ähnlicher Weise wie ich diefs im $. VIII der ange- 
führten Abhandlung in Liouville’s Journal, Bd. 16, pag. 454 etc. für die 
aus Wurzeln der Einheit gebildeten, complexen Zahlen vollständig ausge- 
führt habe, nach den Dirichletschen Methoden einen Ausdruck für die 
Klassenanzahl der complexen Zahlen in w entwickeln, und ebenso den ent- 
sprechenden für die complexen Zahlen inz. Da dieser Ausdruck für eine 
der folgenden Untersuchungen von Wichtigkeit ist, so will ich denselben 
hier in der Kürze entwickeln, indem ich mich begnüge, die Hauptmomente 
der Methode anzugeben, die Ausführung im Einzelnen aber, in so weit sie 
keinerlei Schwierigkeit hat, übergehe. 
Es wird folgende Reihe zu Grunde gelegt: 
1.) A — A): rar’ 
in welcher F(w) alle verschiedenen idealen Zahlen in « repräsentirt, d. h. 
alle, welchen verschiedene Zerlegungen in ihre Primfaktoren zukommen, 
Math. Kl. 1859. H 
