58 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
wo ferner NNF(w) die Norm von F(w), zuerst in Beziehung auf w, und 
sodann in Beziehung auf « genommen bedeutet, und s eine Zahl > 1 ist. 
Die in Beziehung auf w genommene Norm von F(w), als complexe Zahl in 
a in ihre Primfaktoren dieser niederen Theorie zerlegt, hat stets folgende 
Form : 
m m; nk nk 
NF(#) = $(a) P,(@) u. dla) W,(e) 
wo (a), ®,(@) ... Primzahlen sind, für welche D(«) ein Ater Potenzrest ist, 
dagegen (a), &,(«a) solche, deren Nichtrest D(«) ist. Es giebt nun genau 
LA+N.Atm-1) ,KO+FD.Am-A1) 
verschiedene ideale Zahlen 7X), welche diese selbe Norm haben, weil jede 
der Zahlen $(«) A verschiedene ideale Primfaktoren hat, jede der Zahlen 
X(a) aber auch in der höheren Theorie selber Primzahl ist, also $(«)” auf 
so viele Weisen entstehen kann, als man die A idealen Primfaktoren des $(«) 
mit Wiederholungen, aber onne Versetzungen zu je m verbinden kann, 
\(a)" aber nur auf eine Weise entstehen kann. Demnach ist: 
RAN. Arme LA +1). A+m de 
(2.) R= (s — 1) >3 een 1. ; 
Nö(e)" No,(a)" " .. 1 ed oe 
wo die Summe auf alle ganzzahligen Werthe der Gröfsen m, m, ..n,n, ... 
von Null bis Unendlich sich bezieht. Führt man diese einzelnen Summa- 
ms m,s 
tionen nach dem binomischen Lehrsatze aus, so erhält man: 
(3.) R=cN (1a) (! us‘. = re 
Die beiden verschiedenen Arten der Faktoren dieses Produkts werden mit 
D(«) 
Hülfe des Legendreschen Zeichens 9) 
Form gebracht, denn das Produkt 
en Di)\ A 
I, \pia)/ 
0 Aka 
giebt, wenn D(«) Rest von $(«) ist, einen Faktor der ersten Art, und wenn 
D(«) Nichtrest von $(«) ist, einen Faktor der zweiten Art. Man erhält so, 
) leicht unter eine und dieselbe 
