60 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
Es wird nun der Werth der Reihe AR für den Gränzwerth s—1 nach 
einer anderen Methode gefunden, indem diese Reihe in so viel besondere 
Reihen zerlegt wird, als es verschiedene Klassen der idealen Zahlen F(w) 
giebt. Sei H die Anzahl dieser Klassen, und Fxw), F(w), .... Fu_,@) 
bezeichnen alle idealen Zahlen beziehungsweise der ersten, zweiten u. s. w. 
Klasse, so ist: 
(10) Ren nm + mm + + ng 
Es wird hier zunächst auf dieselbe Weise, wie in der genannten Abhandlung 
pag. 469 gezeigt, dafs für s—1 alle diese H verschiedenen Summen den- 
selben Werth erhalten, so dafs es hinreicht die erste derselben, in welcher 
F,(w) die erste Klasse, die der wirklichen complexen Zahlen in w repräsentirt, 
zu finden. Man kann nun jede wirkliche complexe Zahl F,(w), welche A 
complexe Zahlen in « als Coefficienten hat, deren jeder wieder A—1 nicht- 
complexe Ooefficienten enthält, die als unbestimmte Zahlen mit x,,, bezeich- 
net werden sollen, so darstellen: 
2 rl 
> A k 
(11.) 2.) = 2, 2, CR 
Für alle möglichen Werthe der ganzzahligen Coefficienten x,,, erhält man 
nun aber nicht blofs verschiedene wirkliche complexe Zahlen F,(w), son- 
dern auch alle diejenigen, welche sich nur durch Einheiten unterscheiden. 
Um in dieser Form eine jede complexe Zahl nur einmal zu haben, mufs 
man mit Hülfe der Fundamental-Einheiten die Coefficienten den nöthigen 
Beschränkungen unterwerfen. Nach Hrn. Dirichlet’s Untersuchungen 
über die allgemeinen Einheiten, giebt es aber für die complexen Zahlen in w 
°=2 — 1 Fundamental-Einheiten, über welche weiter unten vollständig 
gehandelt werden wird, und wenn man dieselben durch e,(w), e,(w), etc. 
bezeichnet, so sind alle Einheiten in der Form 
m 2 M,—ı 
(12.) a, €, (w) EI 2.0. &,:,(W) 
enthalten, in welcher «, eine der 2° Wurzeln der Gleichung en —l,v— 
Alasıhıe 
0=D ist, und m, , m,, -. m 
alle möglichen positiven und negativen gan- 
zen Zahlen sein können. Bezeichnet man nun mit MF(w) und Me, (w) die 
analytischen Moduln der imaginären Gröfsen F(w) und e,(w), so erhält 
vl 
