64 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
Der kleinste Exponent der Potenz, zu welcher eine ideale Zahl (a) 
erhoben werden mufs, um zu einer wirklichen zu werden, ist nicht durch 
? theilbar. 
Jede Einheit E(«), welche einer nichteomplexen ganzen Zahl con- 
gruent ist, nach dem Modul A, ist eine Ate Potenz einer anderen Einheit <(a). 
Jede nicht durch 1 —« theilbare, wirkliche complexe Zahl F(«) 
läfst sich durch Multiplikation mit einer passenden Einheit in die primäre 
Form bringen, in welcher sie die Bedingungen erfüllt: dafs erstens das 
Produkt Fa) F(a”') einer nichteomplexen Zahl congruent ist, nach dem 
Modul A, und dafs zweitens /X«) selbst einer nichtcomplexen Zahl eongruent 
ist, nach dem Modul (1 — a)’. 
Es sei nun 
Fe=C+Bz2+B2, +..+B_32_, 
eine wirkliche complexe Zahl inz. Die Norm derselben, als Produkt aller 
conjugirten, ist eine symmetrische Funktion aller Wurzeln z, z,, ... z,_, 
der Gleichung (5.), $. 1. In dieser Norm ist C” das einzige, kein z ent- 
haltende Glied, aufser welchem noch symmetrische Funktionen der ersten, 
zweiten u. s. w. bis Aten Dimension vorkommen. Alle diese symmetrischen 
Funktionen sind aber durch die Gleichungs - Coeffieienten rational und ganz 
darstellbar, und müssen nothwendig alle den Faktor Ao enthalten, weil alle 
Gleichungscoeffieienten denselben enthalten. Läfst man nun die durch Ag 
theilbaren Glieder der Norm weg, so hat man die Congruenz: 
(9) NF«) = C’, mod. ‘p, 
wo C eine ganze complexe Zahl in « ist. Bezeichnet man dieselbe durch 
C(«) und nimmt NF\z) = F(«), so hat man: 
(2.) Fa) = C(a)’ , mod. Ag. 
Weil die Ate Potenz einer complexen Zahl in « einer nichtcomplexen Zahl 
congruent ist, nach dem Modul A, so erkennt man hieraus, dafs die Norm 
jeder wirklichen complexen Zahl in z einer nichteomplexen 
ganzen Zahl congruent ist, nach dem Modul A. 
Giebt man in der Congruenz (2.) dem « nach einander alle seine 
?—1 Werthe, (wobei der Modul Ag wesentlich derselbe bleibt), und multi- 
plieirt diese A Congruenzen, so hat man: 
INF«a) = (NCk«))‘, mod. Ag. 
