74 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
NG(z) = E(e) NG, (z). 
Die Normen aller wirklichen complexen Zahlen in z sind aber, nach dem 
Modul A, nichtcomplexen ganzen Zahlen congruent, es mufs also auch die 
Einheit E(«) einer nichteomplexen Zahl congruent sein, nach dem Modul 
1, also in Folge des im $. 7. citirten Satzes, mufs sie eine Ate Potenz einer 
Einheit sein, also: 
E(a) = e(a)‘. 
Nimmt man e(«) G (z) anstatt G(z), wozu man berechtigt ist, weil die Wahl 
der G(z) und G,(z) behaftenden Einheiten völlig frei ist, so hat man: 
(12) NG«@) = NG, «@): 
Wenn nun G(z) und G,(z) so gewählt sind, dafs sie dieser Bedingung 
genügen, so setze ich 
G(z 
(2.) — Ki(z). 
Aus dieser gebrochenen complexen Zahl E(z), deren Norm gleich Eins ist, 
bilde ich einen der Ausdrücke, deren Theorie ich in Crelle’s Journal, 
Bd. 50, pag. 212 behandelt habe, nämlich 
3 P(E@)) =1 + E() + E@)E@,) + E@)E(2,)E@,) + .-. 
8.) .. + Ec) E@,) ---. E(z,_,)- 
Dieser Ausdruck, welcher selbst eine wirkliche gebrochene complexe Zahl 
in z ist, kann, wenn die Wurzeln z, aus den Nennern der Brüche entfernt 
werden, in folgende Form gesetzt werden: 
N Ne) 
(4) PEc) = 2 , 
wo A und B wirkliche complexe Zahlen in « sind, und f(z) eine wirkliche 
ganze complexe Zahl in z. Vermöge der ersten allgemeinen Grundeigen- 
schaft des mit PE(z) bezeichneten Ausdrucks, nämlich 
Ei) P(E@,)) = P(E@), 
hat man nun, wenn man die Form (4.) einsetzt, und = als gemeinschaft- 
lichen Faktor wegläfst: 
Ec) f@) = f@), 
