76 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
Ey z)? RB (z,)8(z,) .2 ®lzı, F(z 
m ge 2 IE) EEE) LEN 
®() N&(z) N®(:) 
wenn dieser Zähler der Einfachheit wegen durch F(z) bezeichnet wird, und 
demnach aus der Gleichung (6.): 
(8.) e(z) F(z,) = F(2). 
Die complexe Zahl F(z), welche dieser Gleichung (8.) genügt, hat 
die Eigenschaft, dafs sie zu jedem idealen Primfaktor, welchen sie enthält, 
auch alle seine conjugirten enthalten mufs. Ist nämlich p(z) ein in F(z) 
enthaltener idealer Primfaktor, so mufs vermöge der Gleichung (8.) der- 
selbe auch in F'(z,) enthalten sein, und wenn z in z,_,, 3, inz, u. Ss. w. 
verwandelt wird, wodurch F'(z,) in F(z) übergeht, so folgt, dafs #(z) auch 
den Primfaktor p(z,_,) enthalten mufs. Hieraus folgt weiter, vermöge der 
Gleichung (8.), dafs auch F(z,) den Primfaktor p(z,_,) enthalten mufs, 
und wenn wieder z in z,_, verwandelt wird, dafs F(z) den Faktor p (z,_,) 
enthalten muls. So fortschliefsend findet man, dafs F(z) alle A conjugir- 
ten idealen Primfaktoren, und tolglich die complexe Primzahl p («) der nie- 
deren Theorie enthalten mufs, zu welcher sich dieselben zusammensetzen. 
Da dasselbe für alle definirten idealen Primfaktoren gilt, so folgt, dafs F(z) 
sich in zwei Faktoren zerlegen läfst, deren einer nur eine complexe Zahl in 
a ist, der andere aber eine complexe Zahl in z, welche die Eigenschaft hat, 
keinen der definirten idealen Primfaktoren zu enthalten. Der erste dieser 
Faktoren könnte auch eine ideale Zahl in « sein, um ihn also gewils zu 
einem wirklichen zu machen, erhebe ich F(z) zur hten Potenz, weil hier- 
durch, wenn Ah die Klassenanzahl der idealen Zahlen in « ist, der erste Fak- 
tor wirklich wird, so mufs der zweite auch wirklich werden, und es wird: 
(9.) F@) = CA(), 
wo C eine wirkliche complexe Zahl in « ist, und A(z) eine wirkliche com- 
plexe Zahl in z, welche keinen der definirten idealen Primfaktoren enthält, 
deren Norm also lediglich aus den Faktoren der Determinante D(«) und 
einer Potenz von g bestehen kann. 
Ich erhebe nun die Gleichung (7.) zur hten Potenz, und setze den 
gefundenen Werth des F(z)' ein, so wird: 
CA(:)E (2)' 
en Aa (N2(@))' 
