78 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
Wenn nun F(z) die Ambige $(z) enthält, so ist 
(13.) Nf(z) = Ale) - No(2), 
und es enthält A(«) keine anderen Primfaktoren in «, als die in der Deter- 
minante D(«) enthaltenen, und ausserdem eine Potenz von g. 
Es sollen nun die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen da- 
für gefunden werden, dafs eine wirkliche complexe Zahl in z eine ideale 
Ambige enthalte. Es sei also $(z) eine ideale Ambige, welche in der wirk- 
lichen Zahl f(z) enthalten ist, so ist der Complex aller in f(z)'”"" f(z,) 
enthaltenen idealen Faktoren gleich #(2)’""' 9(z,), welches, wegen der Be- 
dingung $(z) aeqv. #(z,), mit’#(z)'”, also mit einer wirklichen complexen 
Zahl äquivalent, und darum selbst wirklich ist. Setzt man nun der Kürze 
wegen: 
(14.) 9(2)"" P(2,) = %(2), 
so hat man: 
(15.) HD FEAT), 
wo A(z) und ®(z) zwei wirkliche complexe Zahlen sind, deren erste keinen 
idealen Primfaktor in z enthält, und darum in ihrer Norm nur die in gD (a) 
enthaltenen Primfaktoren haben kann, von denen dagegen die zweite nur 
aus idealen Primfaktoren in z zusammengesetzt, also ihre Norm zu gD («) 
relative Primzahl ist. Umgekehrt, wenn der Complex aller in f(2)'*"" f(z,) 
enthaltenen idealen Primfaktoren eine wirkliche complexe Zahl in z ist, und 
»(z) stellt den Complex aller in ‚f(z) enthaltenen idealen Primfaktoren dar, 
so ist # (z)'*"' #(z,) wirklich, und hieraus folgt, dafs $(z) äquivalent #(z,), 
also eine Ambige ist. Man hat daher folgenden Satz: 
(II.) Wenn die wirkliche complexe Zahl #(z) eine Ambige 
enthält, so läfst sich f(z)'’"' f(z,) in zwei wirkliche Faktoren 
zerlegen, welche so beschaffen sind, dafs die Norm des einen 
nur die Primfaktoren von gD(«), die Norm des andern dage- 
gen keinen dieser Primfaktoren enthält, und umgekehrt: wenn 
diese complexe Zahl eine solche Zerlegung in zwei Faktoren 
gestattet, so enthält f(z) eine Ambige. 
Man kann die Bedingung dafür, dafs f(z) eine Ambige enthält, auch 
noch auf eine etwas einfachere und zweckmälsigere Weise ausdrücken. Da 
