82 Kummer:über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
In den folgenden Untersuchungen ist es nun vortheilhaft die Deter- 
minante D(«), welche der Theorie der complexen Zahlen in « und in z zu 
Grunde gelegt ist, einer neuen Beschränkung zu unterwerfen, welche darin 
besteht, dafs (1— D(«)) durch p theilbar sein soll, aber nicht durch 
0°. Diese Annahme über die Determinante soll hier, so wie in dem Fol- 
genden überall gemacht werden. 
Es sei nun 
SwW=A+Aw+ Aw’ +... + A_Ww", 
sei ferner M(z), in die Form einer complexen Zahl in w gesetzt: 
Ma@)=B+Bw+Bw" +... + B_w". 
Setzt man nun 
M)afwW=C+Cw+ Cw +... + 0, _Ww", 
so hat man durch Ausführung der Multiplikation für die A Coefficienten €, 
C,,C, ... C,_, ebensoviele Gleichungen, welche durch die eine 
% C=AB+A_B, +... +AB + 
@) wr(A,,B,., Beer 4, .D, ,), 
k+1 Ari 
für k= 0,1, 2, ...A—1, repräsentirt werden. Die Gleichung (1.) giebt 
daher unter den Ooefficienten von M(z) und f(w) ein System von A Glei- 
chungen, welches durch die folgende repräsentirt wird: 
A,(B—-« Lca)) + A,_B, +... +AB + 
8.) (AB as.) = 
in ie 1,0 
Ich mache nun aus diesem Systeme von A Gleichungen ein System 
von Congruenzen, nach dem Modul 9°. Die Coefficienten B, B,, B,, ... 
B,_,, als Coefficienten einer complexen Zahl in w, welche zugleich eine 
ganze complexe Zahl in z ist, müssen dem Systeme der Congruenzen (7.) 
$.2. genügen, aus welchem unmittelbar folgt, erstens, dafs alle, mit Aus- 
schlufs des ersten, durch o theilbar sein müssen, und zweitens, dafs alle, 
mit Ausschlufs des ersten, unter einander congruent sein müssen, nach dem 
Modul 9°. Die Gleichung (3.) giebt daher zunächst für den Modul 9 die 
Congruenz: 
(4.) A, (B—«‘ L(«)) =0, mod. p, 
