56 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
welches unmöglich ist, weil Z(«) keinen Faktor der Determinante enthält. 
Die Congruenz (12.) giebt nun für k = 0, 1,2, ..n —1, 
AB-Fa)=®0, 
A (B-eF())+AB, =0, 
(13.) A(B-e’F())+AB,+AB,=0, mod. f(a)”. 
A. Ba Ho) AB, AB, We 
Da B— F(«) nicht durch ‚f(«) theilbar ist, so folgt aus der ersten dieser 
Congruenzen, dafs A den Faktor f(«a)” enthalten mufs. Hieraus, und weil 
auch B— «F (a) nicht durch /(«) theilbar ist, ergiebt die zweite Congruenz, 
dafs A, durch f(«)” theilbar sein mufs, und so fortschliefsend erhält man: 
4=0, A =, ..A,_,=0, mod. f(e)”. 
Also wenn die ersten n Coeffieienten durch f(«) theilbar sind, so müssen sie 
auch durch f(«)” theilbar sein, und dieses für den einen Faktor der Deter- 
minante bewiesene Resultat gilt nothwendig eben so für alle anderen. 
Ich setze nun: 
aa, Fer", w=e fl", = erdfila)” 
e(a)e,(«)e,(a) ... = E(e), 
so ist: 
D(e), U MB, ... 
also : 
wu... 
Wenn nun die ersten n Coefficienten des f(w) durch f(«), also auch durch 
f(«)”, oder was dasselbe ist, durch w’ theilbar sind, ferner die ersten n, 
Coefficienten theilbar durch /,(«), also auch durch /, («)”:, oder u‘, u.s. w. 
und man setzt u u, u, ... statt w, so hebt sich aus f(w) der Faktor u’, eben- 
so der Faktor z,”' u. s. w. heraus, und man hat: 
(15.) Kot u u, oe), 
wo f(u, u,, u, ...) eine aus den Irrationalitäten u, u,, u, ... gebildete com- 
plexe Zahl von folgender Form ist: 
