und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. 89 
in z sich darstellen lasse, in der Art, dafs die Norm des Nenners nicht durch 
e theilbar sei. 
Zunächst ist klar, dafs wenn /(w) dieser Bedingung genügt, auch 
w' f(w) derselben genügen mufs, für jeden Werth des k. Da nun oben 
$. 9. im Satze (Il.) bewiesen worden ist, dafs in einer jeden Zahl f(w), 
welche den Bedingungen der vorliegenden Aufgabe genügt, alle Coefficien- 
ten, mit Ausschlufs eines einzigen, durch p theilbar sein müssen, so kann 
man durch Multiplikation mit einer passenden Potenz von w das Glied, wel- 
ches diesen Coefficienten hat, zum ersten Gliede machen, d.h. zu dem 
Gliede, welches die irrationale Wurzel w nicht enthält, wodurch /(w) die 
Form 
(2.) Je) = C+ ot) 
erhält, wo C eine durch 9 nicht theilbare complexe Zahl in « ist, welche 
auch als nichtcomplexe ganze Zahl angenommen werden kann. Es reicht 
also hin, nur die in dieser Form enthaltenen, der Aufgabe genügenden Zah- 
len /(w) zu finden. 
Ferner folgt unmittelbar, wenn /(w) der Aufgabe genügt, dafs auch 
/(w) F(z) derselben genügen mufs, wenn F'(z) eine wirkliche complexe 
Zahl in z ist, deren Norm nicht durch 9 theilbar ist. 
Endlich ergiebt sich auch sehr leicht, dafs wenn f(w) der Aufgabe 
genügt, ebenso alle complexen Zahlen in w, welche congruent f(w) sind, 
nach dem Modul A, der Aufgabe genügen müssen; denn es ist: 
As() 
() + rg (w) = f(w) (1 en 
und wenn man den Bruch er in die Form bringt, dafs sein Nenner eine 
complexe Zahl in « wird, also: 
al EC 
MC ET IET 
und bemerkt, dafs nach dem Satze (I.) $.2 AG(w) eine ganze complexe 
Zahl in z ist, so hat man: 
(») ® (2) 
(3.) JWw) +rgWw = rm 5 
wo IN®&(z) nicht durch 9 theilbar ist, also: 
Math. Kl. 1859. M 
