90 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
(4.) wa) Hhelwa) _ Slwa)®(z,) 
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woraus die Richtigkeit der aufgestellten Behauptung erhellt. 
Da hiernach nur alle nach dem Modul A incongruenten Zahlen /(w) 
von der Form C+gY(w) zu suchen sind, welche den Bedingungen der 
Aufgabe genügen, so wird es zweckmäfsig sein, bei dieser Untersuchung die 
Logarithmen der complexen Zahlen, nach dem Modul A, anstatt dieser com- 
plexen Zahlen selbst anzuwenden, in ähnlicher Weise, wie ich dieselben 
schon früher für die Theorie der complexen Zahlen in « mit Erfolg ange- 
wendet habe. 
Zunächst ist zu bemerken, dafs eine jede Zahl von der Form C+ 
ob (w) stets auf verschiedene Weisen in diese Form gesetzt werden kann, da 
man dem Y(w) beliebig eine complexe Zahl in « hinzufügen kann, wenn 
man dafür das ofache derselben von C hinwegnimmt. Um diese Willkür- 
lichkeit auszuschliefsen, setze ich fest: es soll Y(w) in dieser Form stets so 
gewählt werden, dafs es für # — 1 gleich Null wird, welches immer gelei- 
stet werden kann, indem man von ı/(w) die Summe aller seiner Coefficien- 
ten abzieht, und das gfache dieser Summe dem € zulegt. 
Ich entwickele nun den Logarithmus 
(5.) (7) = ı(1 +2) 
so nach Potenzen von g, dafs in dieser Entwickelung alle diejenigen Glieder, 
welche Vielfache von A werden, wegfallen. Das kte Glied der Entwicke- 
lung dieses Logarithmus ist: 
N yo 
k.CH i 
Da nun g°”' ein Vielfaches von A ist, so folgt, dafs das A— 1te Glied weg- 
fällt, so wie auch alle folgenden, insofern sie nicht A auch im Nenner ent- 
halten, also insofern nicht % durch A theilbar ist. Wenn aber k ein Viel- 
faches von A ist, so nehme man k = mA’, wo m nicht weiter durch A theil- 
n n—1 vo nl - 
bar sein soll; man hat alsdann GER = Br ! 0" ‚ also theilbar 
durch A” ka 
‚ und demnach mufs --g° für einen solchen Werth des k den 
— n mal enthalten. Diese Anzahl ist aber stets grö- 
[ser alsEins, aufser in dem einen Falle, wo zugleich n=1 und m=1, also k=A 
ya—i1 
Faktor A mindestens mA 
