92 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
In diesem Falle hat man aus der Congruenz (6.), wenn man dieselbe zunächst 
nur für den Modul p° betrachtet: 
0=2Ylw), mod. p°, 
also Y(w#) durch 9 theilbar. Setzt man nun Y(w) = 9%(w), und betrachtet 
die Congruenz (6.) nach dem Modul 9°, so ergiebt sie, dafs %(w) weiter 
durch g theilbar sein muls, also \(w#) theilbar durch 9°, so fortschliefsend 
erhält man zuletzt: \/ (w) theilbar durch 0, also eV (w) ein Vielfaches von 
?, d.h. die logarithmische Entwickelung von f(w) ist nur dann congruent 
Null, wenn f(w) einer complexen Zahl in « congruent ist, nach dem Mo- 
dulA. Wenn nun die logarithmischen Entwickelungen zweier Zahlen f(w) 
und f (w) congruent sind, also der Unterschied derselben congruent Null, 
so hat man 
(2) en (2) = 0, mod.A, 
also 
C’f(») Br 
a) —=,0,..mod. A, 
cf») 
Cf(») 
nach dem Modul A, oder was dasselbe ist: Af(w) = f'(w), mod. A, wo 
A eine complexe Zahl in « ist. 
woraus folgt, dafs einer complexen Zahl in « congruent sein mufs, 
Nachdem diese allgemeinen Eigenschaften der logarithmischen Ent- 
wickelungen der complexen Zahlen von der Form C + o\Y(w) festgestellt 
sind, wende ich dieselben zum Zwecke der Lösung der vorliegenden Aufgabe 
an. Ich verwandle in der Congruenz (7.) w in wa, wodurch v=1—w 
in 1-wa=r+2g(1— v) übergeht, entwickele die rationalen Funktionen 
von v-+g(1—v) nach dem Taylorschen Satze nach Potenzen von g, und 
ziehe die unveränderte Congruenz (7.) von diesen ab, so ist: 
wo 2 ’ < —e = a v e* —f) an v 
oo (de a BRuE a 
N AO are +. 
+) + 
Ich entwickele nun den Logarithmus der complexen Zahl He ‚ wel- 
che nach den Bedingungen der Aufgabe gleich ES werden soll. Setzt 
