und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. 95 
dafs derselbe den Logarithmus einer complexen Zahl in z darstellt. Man 
hat daher: 
(19.) (9 )=(eg tea +. +0.) W+l Ga): mod. A, 
als nothwendige Bedingung dafür, dafs die Zahl f(w) eine Gleichung von 
der Form 
Lce) f(wa) = M(z) f(w) 
genüge, in welcher VM(z) und / (a) nicht durch e theilbar sind. Dafs diese 
Bedingung auch eine hinreichende ist, folgt daraus, dafs wenn w in wa ver- 
wandelt wird, also vine-+g (1 — v), und von der so veränderten Con- 
gruenz (19.) die unveränderte abgezogen wird, der Logarithmus von en 
in der That congruent dem Logarithmus einer complexen Zahl in z gefunden 
wird. Von dem mit /V bezeichneten Ausdrucke bemerke ich noch, dafs 
derselbe, wenn v = 1 — w gesetzt wird, und man nach Potenzen von w 
ordnet, in einen Ausdruck derselben Form übergeht, oder dafs 
r1—1 
2 3 
(20.) = +9 + 4.43; mod. A. 
Vergleicht man den Ausdruck (19.) des Logarithmus einer der Glei- 
chung (1.) genügenden Zahl f(w) mit dem Ausdrucke (12.) des Logarithmus 
einer complexen Zahl in z, so erkennt man sogleich, dafs, wenn f(w) eine 
complexe Zahl in z sein soll, nothwendig die A—2 Zahlen e,, e,, ... €,_, 
alle congruent Null sein müssen, mod. ?; denn die Glieder e,ge, c,g’v, 
.. C,_,0" "v, welche im Logarithmus von f(w) enthalten sind, kommen in 
dem Logarithmus einer complexen Zahl in z nicht vor. Umgekehrt, wenn 
C,, €, ».. €,_, alle congruent Null sind, mod. A, so ist der Logarithmus 
von f(w) derselbe, als der Logarithmus einer complexen Zahl in z, und 
darum f(w) = AF«(z), mod.?, oder f(iw) = AF(z) + AG(w), also 
weil AG (w) eine complexe Zahl in z ist, ist f(w) nothwendig eine complexe 
Zahl in z. 
Wenn nun zwei Zahlen f(w) und f‘(w), welche beide den Bedingun- 
gen der Aufgabe genügen, in ihren Logarithmen dieselben Werthe der Zah- 
len c,, €, ... c,_, haben, nach dem Modul A, so giebt die Differenz ihrer 
Logarithmen, also der Logarithmus ihres Quotienten, den Logarithmus 
einer complexen Zahl in z, und man hat: 
