96 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
CY(w) F(z) 
6) = , = 
(21.) ı( TO ı( 7); mod. A. 
Hieraus folgt, wie oben gezeigt worden, dafs die eine complexe Zahl der 
anderen, multiplieirt mit einer complexen Zahl in «, congruent sein mufs, 
also : 
lo) = Alle) 
(22.) — = = ‚„ mod. A. 
Macht man nun aus dieser Congruenz eine Gleichung, indem man das A fache 
einer complexen Zahl in w hinzufügt, welches ebenfalls eine complexe Zahl 
in z ist, so erhält man: 
(23.) do a 
wo F'(z) eine ganze complexe Zahl inz, M’ eine ganze complexe Zahl in 
« ist, welche den Faktor 9 nicht enthält. Die eine dieser beiden Zahlen f(w) 
und f‘(w) entsteht also aus der anderen durch Multiplikation mit einer ge- 
brochenen complexen Zahl in z, deren Nenner kein 9 enthält. Umgekehrt, 
wenn f(#) und f‘(w) in dieser durch die Gleichung (23.) ausgedrückten Be- 
ziehung zu einander stehen, so hat man 
Ai w ZI) 
(24.) (FI) - (2) =, mod. 2, 
woraus folgt, dafs die Logarithmen von /(w) und von /(#) dieselben Wer- 
the der Zahlen c,, c,, ... c,_, haben müssen, nach dem Modul A. 
Es kann nun eine jede der A—2 Zahlen c,, c,, ... c,_, die‘ ver- 
schiedenen Werthe 0, 1, 2, ....?—1 erhalten, die Anzahl aller verschie- 
denen Werthverbindungen dieser Zahlen, und nur diese, geben aber solche 
der Aufgabe genügende Zahlen /(w), welche sich nicht durch Multiplikation 
mit complexen Zahlen in zs eine aus der andern erzeugen lassen. Dieses 
Resultat giebt folgenden Satz: 
Es giebt genau A’"* ursprüngliche complexe Zahlen f(w), 
welche der Bedingung genügen, dafs - einer gebrochenen 
complexen Zahl in z gleich sei, deren Nenner po nicht enthält, 
welche in der Art von einander unabhängig sind, dafs keine 
aus einer anderen durch Multiplikation mit einer gebrochenen 
complexen Zahl in z, deren Nenner 9 nicht enthält, erzeugt 
werden kann. 
