98 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
Wenn nun die Anzahl der in der Determinante D(«) enthaltenen ver- 
schiedenen Primfaktoren f(«), f,(«) u. s. w. gleich r ist, so hat man r Zahlen 
N, n,,N,, »..71,_,, denen man einzeln alle Werthe 0, 1, 2, ...2—1 geben 
kann, welche also %° verschiedene Werthverbindungen zulassen. Man erhält 
also aus jeder der A’? ursprünglichen Zahlen f(w) genau A complexe Zah- 
len f(u, u,, u, ...), welche eben so viele Ambigen darstellen. Die Anzahl 
aller Ambigen, welche auf diese Weise erhalten werden, ist also gleich 
27°", welche in so fern ebenfalls als ursprünglich angesehen werden kön- 
nen, als keine derselben aus einer andern durch Multiplikation mit einer 
wirklichen complexen Zahl in z erzeugt werden kann. Alle anderen Ambi- 
gen aber können aus diesen A’"""" durch Multiplikation mit wirklichen com- 
plexen Zahlen in z erzeugt werden. 
Aus den gefundenen Ambigen sollen nun die nichtäquivalenten ambi- 
gen Klassen ermittelt werden. Aus der Definition der Äquivalenz, nach 
welcher zwei ideale complexe Zahlen in z äquivalent sind, wenn sie durch 
Zusammensetzung mit einer und derselben dritten idealen Zahl zu wirk- 
lichen complexen Zahlen in z werden, folgt zunächst, dafs alle Ambigen, 
welche aus einer einzigen f(u, u,, u,, ...) entstehen, indem diese mit wirk- 
lichen complexen Zahlen in z zusammengesetzt wird, nothwendig äquivalent 
sind; denn wenn Fu, u,, u, ...) ein in der Theorie der complexen Zahlen 
in z idealer Multiplikator ist, welcher mit f(u, u,, u, ...) zusammengesetzt, 
eine wirkliche complexe Zahl in z ergiebt, so ergiebt derselbe auch in seiner 
Zusammensetzung mit /(uw, u,, u, ...) @(z) eine wirkliche complexe Zahl in 
z, wenn @(z) wirklich ist. Die nichtäquivalenten Klassen der Ambigen 
sind aus diesem Grunde nur unter den A”"** aufzusuchen, welche sich 
nicht durch Multiplikation mit wirklichen complexen Zahlen in z aus einan- 
der erzeugen lassen. 
Wenn nun f(u, u,, u, ...), als wirkliche complexe Zahl in der Theo- 
rie der aus den Wurzeln u, w,, u, gebildeten complexen Zahlen , eine ide- 
ale Zahl in der Theorie der complexen Zahlen in z darstellt, und E(u ‚u,, 
U, ...) bezeichnet eine Einheit in v, v,, u, ..., d.h. eine wirkliche com- 
plexe Zahl dieser Theorie, deren Norm eine Einheit in « ist, so mufs noth- 
wendig E(u, u,, u, ...) (u, u,, u, ...) vollständig dieselbe ideale Zahl in z 
darstellen, als f(w, u,, u, ...), weil eine ideale Zahl in Beziehung auf Ein- 
heiten, mit denen sie behaftet sein kann, vollständig unbestimmt ist. Zu- 
