102 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
Um nun diese allgemeinen Resultate auf die Untersuchung der Ein- 
heiten in w und in z anzuwenden, welche aufser den irrationalen Gröfsen w 
oder z auch noch die Wurzel « enthalten, mufs man eine irreduktible Glei- 
chung mit nichteomplexen, ganzzahligen Coefficienten aufstellen, von der 
Art, dafs durch eine Wurzel derselben, so wohl «, als auch w, und demge- 
mäls auch z, sich rational darstellen lasse. Ich wähle hierzu diejenige Glei- 
chung, deren Wurzel y=«-+ w ist. Diese giebt zunächst 
di.) Y-)"-Deo)=0, 
und demgemäfs, wenn für « seine A—1 Werthe «, «a°, ... «'"' gesetzt wer- 
den, und das Produkt gebildet wird: 
(2.) (y—o)"—Dea)) ((y—a?)” — D(a)) ... ((y—a*')"— D(a'))=0, 
welche Gleichung vom Grade A(A—1), vollständig entwickelt, nichtcom- 
plexe ganze Zahlen zu Coefficienten hat. Dafs diese Gleichung irreduktibel 
ist, folgt daraus, dafs die” — 1 Faktoren, aus denen sie zusammengesetzt 
ist, einzeln in dem Sinne irreduktibel sind, dafs sie nicht in Faktoren niede- 
rer Grade, deren Coefficienten rational in « wären, sich zerlegen lassen, 
wenn nämlich die Determinante D(«), wie überall vorausgesetzt wird, nicht 
eine vollständige Ate Potenz ist. Ein jeder Faktor der Gleichung (2.), wel- 
cher nichteomplexe rationale Zahlen als Coefficienten hätte, müsste darum 
nur ein Produkt einer Anzahl jener A— 1 Faktoren des Aten Grades sein. 
Entwickelt man aber ein solches Produkt nach Potenzen von y, so erkennt 
man schon aus der Betrachtung des Coeffhieienten des zweiten Gliedes, dafs 
dasselbe nicht anders rationale Coefficienten haben kann, als wenn es alle 
diese A — 1 Faktoren der Gleichung (2.) umfasst. 
Um nun « als rationale Funktion von y zu bestimmen, hat man nur 
die gemeinsame Wurzel « der beiden Gleichungen 
v—- 9 —-D(a)=0 undi+ae+a +... +. =0 
zu suchen. Diese Gleichungen haben nämlich nur die eine gemeinschaft- 
liche Wurzel «,; denn hätten sie aufserdem auch eine andere Wurzel «® mit 
einander gemein, so müsste die Wurzel y= « + w der Wurzel y = "+ 
VD«(«) gleich sein, und die Gleichung (2.) wäre nicht irreduktibel. Da 
also « eine rationale Funktion von y ist, so kann man demselben die Form 
