und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahlist. 103 
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geben, wo d ein von der Determinante D(«) abhängiger, nichteomplexer 
ganzzahliger Nenner ist, nnd f(,y) eine ganze, rationale Funktion von y des 
Grades 1(% — 1) — 1, mit ganzzahligen Coefficienten. Es ist alsdann #—= y 
— « eine rationale Funktion derselben Art, mit demselben Nenner d, und 
da demnach auch die Potenzen «, «’, «', ... @’-', so wie die Potenzen w, 
w’,w’, ... w’7' sich als rationale Funktionen von y ausdrücken lassen, de- 
ren Nenner nur Potenzen von ö sind, so folgt, dafs jede ganze und ganz- 
zahlige Funktion von « und w, d.i. jede complexe Zahl in w sich als ge- 
brochene rationale Funktion von y darstellen läfst, deren Nenner eine be- 
stimmte, nur von der Determinante D(«) abhängige, ganze nichtcomplexe 
Zahl A ist, dafs also 
(3.) AF(w,a) = F(y) 
ist, wo F(y), als ganze und ganzzahlige rationale Funktion von y, auch com- 
plexe Zahl in y genannt werden kann. Das Afache einer jeden ganzen com- 
plexen Zahl in w läfst sich also als ganze complexe Zahl in y darstellen. 
Eine ganze complexe Zahl in w enthält im Ganzen A (A — 1) Coeffhiei- 
enten, welche nichtcomplexe ganze Zahlen sind, wenn man alle ihre Glie- 
der, welche verschiedene Potenzen von « und w enthalten, besonders be- 
trachtet. In Beziehung auf einen gegebenen Modul A kann jeder dieser 
?1(A — 1) Coefficienten die A verschiedenen Reste 0, 1, 2, ... A— 1 geben, 
es giebt daher nach dem Modul A nicht mehr als A’ incongruente com- 
plexe Zahlen inw. Erhebt man nun eine complexe Einheit in w: E(w) zu 
Potenzen, so müssen in der Reihe 
1, E(w), E(w)’, E(w)’, E(w)' ..... 
wenn dieselbe so weit fortgesetzt wird, dafs sie mehr als A*"-" Glieder 
enthält, nothwendig nach dem Modul A congruente Glieder vorkommen, 
man hat also 
E(w)” = E(w)',ı ‚mod. A, 
wo m und n verschiedene Zahlen sind und nicht gröfser als A” =". Es hat 
nun E(w), als Einheit, keinen gemeinschaftlichen Faktor mit dem Modul A, 
man kann also, wenn na<m ist, diese Congruenz durch E(#)" dividiren, 
und erhält so 
