104 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
E(w)””" =1, mod.A, 
oder als Gleichung geschrieben: 
(4.) Ew”""=1+AF(w), 
und weil AF(w), wie oben gezeigt worden, eine ganze complexe Zahl in 
y ist, so erkennt man hieraus, dafs eine bestimmte Potenz einer jeden com- 
plexen Einheit in w sich als ganze complexe Einheit in y darstellen läfst. 
Aus der Definition eines vollständigen Systems von Einheiten geht 
hervor, dafs dasselbe diese beiden Eigenschaften behält, wenn man die ein- 
zelnen Einheiten, aus welchen es besteht, zu irgend welchen ganzen Poten- 
zen erhebt; wenn man daher die Einheiten eines vollständigen, unabhängi- 
gen Systems in w zu denjenigen Potenzen erhebt, welche diese zu ganzen 
complexen Einheiten in y machen, so mufs man ein unabhängiges und voll- 
ständiges System von Einheiten in y erhalten, und weil die Anzahl der Ein- 
heiten aus welchen dieses besteht, nach dem Dirichletschen Satze gleich 
2 — 1 ist, so mufs ein vollständiges, unabhängiges System von Einheiten 
in « nothwendig genau eben so viele Einheiten enthalten. Weil ferner die 
Ate Potenz einer jeden complexen Zahl in w eine complexe Zahl in z, also 
auch die Ate Potenz einer jeden Einheit in « eine Einheit in z ist, so folgt, 
dafs auch ein vollständiges unabhängiges System von Einheiten in z genau 
222 — 4 Einheiten enthalten mufs. 
Die complexen Einheiten der niederen Theorie in « sind unter den 
Einheiten der höheren Theorie in w oder in z als besondere mit enthalten, 
die unabhängigen Einheiten dieser niederen Theorie können also auch mit 
als unabhängige Einheiten der höheren Theorie benutzt werden. Setzt man 
r—ı Ar—1) 
nun, wie im 6. 6. der Kürze halben u='—, v=*4=, so hatman u —1 
unabhängige Einheiten in «, und da die Anzahl aller unabhängigen Einheiten 
in w oder in z gleich v— 1 ist, so hat man zu diesen »— 1 Einheiten in « 
noch v — u Einheiten in oder in z hinzuzunehmen, damit das System voll- 
ständig werde. Diese v — u Einheiten der höheren Theorie kann man immer 
so wählen, dafs ihre Normen, welche nicht complexe Einheiten in « sind, 
gleich Eins selbst werden. Wenn nämlich eine Einheit E(w) diese Be- 
dingung nicht erfüllt, sondern die Norm e(«) hat, so nehme man an- 
statt derselben ihre Ate Potenz, dividirt durch e(«), wobei weder die 
Vollständigkeit noch die Unabhängigkeit des Systems beeinträchtigt wird, 
