110 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
ist, und weil M, und H, nach der Voraussetzung nicht durch 9 theilbar 
sind, so ist X, = M, H, ebenfalls nicht durch 9 theilbar. Es ist aber nach 
der Voraussetzung unmöglich, eine oh * te Potenz einer Einheit durch die 
Form (19.) auszudrücken, ohne dafs alle complexen Exponenten X,, K,,, 
... K,_, durch 9 theilbar sind, also ist es auch unmöglich, durch die Ein- 
heiten &(w), &,(#) ... &,_,(w) eine gte Potenz irgend einer Einheit in dieser 
Weise auszudrücken. Genau dieselben Schlüsse gelten auch, wenn man 
anstatt der Einheiten in # die specielleren Einheiten in z zu Grunde legt, 
man hat also folgenden Satz: 
(IL) Es giebt für Einheiten in w (oder in z), deren 
Normen gleich Eins sind, ein vollständiges und unabhängiges 
System von a Einheiten mit ihren conjugirten, welches so be- 
schaffen ist, dafs ein Produkt von Potenzen dieser « Einhei- 
ten mit ganzen complexen Exponenten nicht eine ote Potenz 
einer Einheit in w (oder in 2) darstellen kann, ohne dafs die 
complexen Exponenten der Potenzen aus denen dieses Pro- 
dukt besteht, alle einzeln durch p theilbar sind. 
Weil das System der x Einheiten e(w), &,(w), ... e,_,(w) mit ihren 
conjugirten ein vollständiges unabhängiges System für alle Einheiten ist, de- 
ren Normen gleich Eins sind, so kann man durch dasselbe alle Einheiten, 
deren Normen gleich Eins sind, darstellen, wenn man in den Coefficienten 
der complexen Exponenten M, M,,... M,_, der Form 
Mm Mm, M, 
(21.) (ww), .E.(@) auge) 
rationale Brüche zuläfst, oder was dasselbe ist, wenn man diese Exponenten 
als gebrochene complexe Zahlen in « passend bestimmt. Diese gebroche- 
nen Exponenten können nun, vermöge der in dem Satze (III.) ausgesproche- 
nen Eigenthümlichkeit des vorliegenden Systems der unabhängigen Einhei- 
ten, in ihren Nennern niemals den Faktor 9 enthalten, wenn gemeinschaft- 
liche Faktoren der Zähler und Nenner nicht Statt haben, aus welchem 
Grunde ein solches System oben als ein in Beziehung auf 9 fundamentales 
bezeichnet worden ist. Gesetzt es wäre eine ganze complexe Einheit e(w) 
durch die Form (21.)so darstellbar, dafs irgend welche der gebrochenen com- 
plexen Exponenten M, M,,... M 
A—1 
nicht in ihren Zählern, und es wäre 9° die höchste Potenz von g, welche 
in ihren Nennern 9 enthielten, aber 
