und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahlist. 417 
vollständig zu lösen. Ein Mittel hierzu gewähren die complexen Zahlen in 
w und die complexen Zahlen in z, u,, u, ... Da nämlich die wirklichen 
complexen Zahlen in diesen Theorieen sich als ideale Zahlen in der Theo- 
rie der complexen Zahlen in z darstellen, so kann man untersuchen, in wie 
weit es gelingt, durch diese die A**""" Gattungen, welche nach dem gefun- 
denen Satze Statt haben können, auszufüllen, d.h. in wie weit man für je- 
den von denA**" =" Gesamtcharakteren eine entsprechende wirkliche complexe 
Zahl in w oder in u, v,, u, ... finden kann. Die Grundlage dieser Unter- 
suchung bildet eine Congruenz unter den Charakteren C',, C,, ... C,_, einer 
jeden idealen Zahl in z, welche als wirkliche complexe Zahl in w dargestellt 
werden kann, welche darum jetzt hergeleitet werden soll. 
Zunächst ist es hierzu nöthig den Charakter 
D. NEe 
r—1 AN 
in ähnlicher Weise wie die anderen ebenfalls durch Differenzialquotienten 
eines Logarithmus auszudrücken, welches vermittelst einer allgemeineren 
Formel geschehen kann, die folgendermaafsen gefunden wird: Man nehme 
eine ganze rationale Funktion der Variabeln x, # (x), vom A — 1ten Grade, 
deren Ooefficienten beliebige Constanten sein können, und bilde das Pro- 
dukt von A Faktoren 
r—1 
(1.) I, p(x + ka — 1)) = Bla, k). 
Dasselbe ist, als Funktion von % betrachtet, eine ganze rationale Funktion 
vom Grade ?(% — 1), welche die Eigenschaft hat, dafs alle Glieder, welche 
k” und die höheren Potenzen von k enthalten, Vielfache von A° sind, wo- 
von man sich leicht überzeugt, wenn man bemerkt, dafs mit jedem einfachen 
k ein Faktor «@ — 1, also ein Faktor g verbunden vorkommt, also mit 
k" nothwendig der Faktor 9°, statt dessen, wenn n>? — 1 ist, auch 
Ag”""*" genommen werden kann. Jedes Glied, welches k" enthält, ist also, 
wenn n>A— 1 ist, durch A9 theilbar, und weil das entwickelte Produkt 
die Wurzel « nicht enthält, so kann das mit k* behaftete Glied derselben 
nicht durch ?g theilbar sein, ohne durch A° theilbar zu sein. Bei der Unter- 
suchung des Ausdrucks ®(x,k) in Beziehung auf den Modul A” kann man 
also alle Glieder, welche k” und höhere Potenzen des % enthalten, als durch 
7° theilbar vernachlässigen. Ich entwickele nun den Logarithmus 
