118 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
1 ey Are eh ET DE ee 
+ ..+kA, 
wo k’A den Rest der Reihe vorstellt, vom Aten Gliede an. Giebt man 
dem r die Werthe 0, 1, 2... A—1 und summirt, indem man bemerkt, dafs 
(«— 1)" + (a? — 1)" + (a — 1)" +... + (a — 1)" = (— 1)’ 
ist, für alle Werthe des n, welche kleiner als A sind, so erhält man: 
J k x 2 276(& 
2) immanenter a m u. 
ee Kiz.! a1 (x) ar 
ar 1.2... (A—1) dar! ne k’B 
Entwickelt man nun den Logarithmus von 9 (x + k (e’ — 1)) in eine nach 
Potenzen von k geordnete Reihe, und nimmt von dieser den A— 1 ten Diffe- 
renzialquotienten nach v, für den besonderen Werth v = 1, so erhält man: 
da-'Ip(a+kle'—1)) _ k dih(e) (rt 2.177 ')R? d?ıp(a) er 
du’! ZN dx 12. dx® 
(35! —3.2 1 HE. T1)Rd ddp (&) 
122.3. dx’ 
welche Reihe eine endliche ist, und nur A— 1 Glieder hat. Die Zahlen- 
coefficienten, welche die A— 1ten Differenzialquotienten von (e’ — 1)” 
sind, für v = 0, sind abwechselnd congruent + 1 und — 1, nach dem Mo- 
dul A, man hat daher: 
dh 'Id(x+kle’—1)) _ k dib(«) k? d’Ib(«) 
8.) - dv‘! Er 41 DEN 4:0) dx* 7 
kr! d’"'Ib(a) 
a ee, +AP, 
wo P eine ganze rationale Funktion von k, des A — 1ten Grades ist, deren 
Zahlencoefficienten, insofern sie Brüche sind, in den Nennern kein A ent- 
halten. Die Vergleichung der beiden Ausdrücke (2.) und (3.) giebt: 
ld (x,k) =rlo(a) —‘ a N PL TB 
dv*! 
Nimmt man nun die Exponentialgröfsen und entwickelt, indem man die 
Glieder wegläfst, welche A’ und die welche k” oder höhere Potenzen von k 
enthalten, so hat man 
