130 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
an, und zwar zunächst für den Fall, dafs die Determinante D(«e) nur einen 
Primfaktor enthält. Wenn die als Charaktere bezeichneten Gröfsen 
CC EAN IE ,C 
rA—29 
deren jede in Beziehung auf den Modul A die Werthe 0, 1, 2, .. 2 —1 
haben kann, irgend wie gegeben sind, so kann man, da noch die Gröfsen 
rA—1) 
C,,C,, C,, ... C,_, verfügbar bleiben, diese im allgemeinen so wählen, 
dafs der Congruenz 
Dir c, i7t7 DD. ur D3G CHE D, Ca = 0, mod. A, 
genügt wird. Nur in dem einen besonderen Falle wird diefs nicht möglich 
sein, wenn von den Gröfsen C,, C,, C,, ... C,_, keine in dieser Congru- 
enz vorkommt, also nur dann, wenn die Determinante D(«) so beschaffen 
ist, dafs für dieselbe die Gröfsen 
D..D.,D,23D D 
alle einzeln congruent Null sind. In diesem Falle können die genannten 
Charaktere einer idealen Zahl in z, welche sich als wirkliche complexe Zahl 
in « darstellen läfst, nicht mehr alle beliebigen Werthe haben, sondern nur 
diejenigen Werthe, welche der Congruenz 
(1) D_,C,+D_”,C,+..+D,C, ,—-D,C,_,=0, mod.A, 
r—2)9 r—1 
genügen. Für alle anderen Determinanten D(«) aber, welche nicht diese 
besondere Eigenschaft haben, kann man, wie auch die Charaktere C,, C,, 
.. C,_,, C,_, gegeben sein mögen, stets wirkliche complexe Zahlen in w 
finden, welche, als ideale Zahlen in z betrachtet, diese gegebenen Charak- 
tere haben. Da die Anzahl dieser Einzelcharaktere gleich u = 57 ist, und 
jeder die A Werthe 0, 1,2...?%—1 haben kann, so folgt, dafs die Anzahl 
aller Werthverbindungen derselben gleich A* ist, dafs also A* Gattungen 
wirklich existiren, da man zu jeder derselben ideale Zahlen angeben kann, 
welche sie enthält. Da ferner nach dem Satze (IV.) $. 13, in dem vorlie- 
genden Falle, wo die Determinante nicht mehr als einen Primfaktor ent- 
hält, nicht mehr als A* Gattungen existiren, so folgt, dafs der mit X be- 
zeichnete Charakter durch die Charaktere C,, C,, ... C,_, vollständig be- 
stimmt ist, so dafs alle idealen Zahlen in z, welche dieselben Werthe dieser 
Charaktere haben, auch denselben Werth des Charakters X haben müssen. 
Der Ausnahmefall, in welchem D,, D,, ... D 
‚_, alle congruent Null sind, 
