und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. 133 
welcher alle complexen Zahlen F(«) genügen müssen, die sich als Normen 
von wirklichen complexen Zahlen in u, u, darstellen lassen: 
(9) 3-1)‘ (d,, +85) C, + (n—n,) 3(— 1) d,_,d, = 0, mod. A. 
Um diese Congruenz in einer übersichtlicheren Form darzustellen, führe 
ich folgende abgekürzte Bezeichnungen der auch in dem Folgenden mehr- 
fach wiederkehrenden Ausdrücke ein: 
ms =—-d ,C,+d_,C, #d4_.0C, + :- +d,C,2 
ms =— 5.068 9.06+9:,C,+--+ 50_ 
(0) ms =—-d_8, +d,_,, +d_,8+..+d,d,_,, mod.a. 
m ode .d, mod, # ...Bode, 
T =-(d, +8) C,_,+(d, +8) C,_+(d, +9) G_. + 
+..+(d,_ +9) C;- 
Vermittelst dieser Zeichen stellt sich die gefundene Congruenz (9.) in fol- 
gender Weise dar: 
(1) T—-mS—m,S, +(n—n,) (ms—m,s)=0, mod.A. 
Es ist nun auch umgekehrt zu zeigen, wenn die Werthe der Gröfsen 
C,C,, C,, C,, ... C,_, und der Zahlen n und n, irgend wie gegeben sind, 
mit der einzigen Bedingung, dafs sie dieser Congruenz (11.) genügen, dafs 
man stets eine wirkliche complexe Zahl in u, u,, Fu, w,) finden kann, 
welcher diese Werthe angehören. Man kann zunächst, wie oben gezeigt 
worden ist, immer wirkliche complexe Zahlen F(#) finden, denen die 
Werthe C/, C}, C}, ... C}_, angehören, wenn dieselben irgend wie so ge- 
geben sind, dafs sie der Congruenz (5.) genügen. Ist nun F’(w) eine sol- 
che passende Zahl, so ist allgemein F’(w) + g\'(w) eine complexe Zahl, 
welche dieselben Werthe der Gröfsen C/, C}, C;, ... C}_, giebt, wo Y(w) 
vollständig beliebig ist; denn es ist die Norm von F’(w) + g'/ (w) der Norm 
von F'(w) congruent, nach dem Modul Ag. Die beliebige Zahl /(w) kann 
nun immer so bestimmt werden, dafs in der complexen Zahl F’(w) + oY(w) 
die ersten n Coefficienten durch u” —= d(«) theilbar sind, der n + 1te aber 
nicht theilbar durch f(«), und dafs die ersten n, Coefficienten durch u; = 
ö(«) theilbar sind, der 2, + 1te aber nicht theilbar durch f,(«). Hier- 
durch wird aber 
F(w) +eY(w) = De u,)» 
