433 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
Beweise desselben die Reciprocitätsgesetze selbst erforderlich. Dessenun- 
geachtet will ich diese Untersuchung hier so weit durchführen, dafs sie durch 
den nachher zu gebenden Beweis der Reciprocitätsgesetze vollständig abge- 
schlossen wird, und zwar hauptsächlich aus dem Grunde, weil der Haupt- 
satz, auf welchem diese Methode beruht, auch in dem Beweise der Reeci- 
procitätsgesetze seine Anwendung finden wird. Dieser jetzt zu beweisende 
Satz ist folgender: 
(l.) Wenn F(«), F,(a), F,(«) ... F,_,(«) wirkliche complexe 
Zahlen sind, welche die eine Bedingung erfüllen, dafs das 
Produkt 
EEE File), ı 
für ganzzahlige Werthe der Exponenten m, m,, m, ....m,_, 
nicht anders eine Ate Potenz werden kann, als wenn diese 
Exponenten alle congruent Null sind, nach dem Modul A, so 
giebt es stets unendlich viele verschiedene Primzahlen #(e), 
in Beziehung auf welche die Indices der complexen Zahlen 
Fa), F,(@), ... F,_,(a) beliebig gegebenen Zahlen proportional 
sind, nach dem Modul }. 
Um diesen Satz zu beweisen, wende ich die Methode von Hrn. Diri- 
chlet an, durch welche derselbe den Satz bewiesen hat, dafs in jeder arith- 
metischen Reihe, in welcher nicht alle Glieder einen gemeinschaftlichen Fak- 
tor haben, unendlich viele Primzahlen enthalten sind. Ich setze 
b b, b, BEER 
(19 Pre) Pa) Fo) ae. (a) —= D«(«) 
und bilde das unendliche Produkt: 
D()NEN —1 
(2.) I (: — ) ) = 
(Nd(e))' 
in welchem das Produktzeichen I auf alle unendlich vielen verschiedenen 
Primzahlen #(«) sich bezieht, mit Ausschlufs der in gD(«) enthaltenen, 
welches Produkt bereits im $. 6., bei der Untersuchung der Klassenanzahl 
der idealen complexen Zahlen in , seine Anwendung gefunden hat. 
Der Logarithmus von Z, entwickelt giebt: 
