140 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
b,_, genommene Summe dieses Ausdrucks immer gleich Null wird, wenn 
nicht a. 
F(«) g° F, («)\k BIENEN CHEN, 
(62) oyE ve k Go iv Pe) SE 4 
dafs aber, wenn diese Gleichungen zugleich Statt haben, diese Summe gleich 
x ist. Es folgt diefs unmittelbar daraus, dafs die Legendreschen Zeichen 
r 
nur Potenzen von « sind, und dafs 1+« +a” +... + a", 
gleich 
Null ist, wenn r nicht durch A theilbar ist, aber gleich A, wenn r durch A 
theilbar ist. Man hat daher: 
(7.) Sos lop. 7, =ATe + G(s), 
1 
(N$(e))' 
wo das Summenzeichen 5 auf alle Werthe der in C und Z, enthaltenen 
Zahlen = 0,1, 2, ...% —1, 5, =0,1, 2, ...%—1 u. s. w. sich bezieht, 
das Summenzeichen 3 aber auf alle diejenigen Primzahlen $ (a), welche den 
bei (6.) gegebenen Bedingungen genügen, und wo G(s) eine Funktion von s 
von derselben Beschaffenheit ist, als die oben mit demselben Zeichen be- 
legte. Endlich gebe ich noch der unbestimmten Zahl % die Werthe 1, 2, 
3... X — 1 und summire, so wird: 
(8.) Sa“ log. (L,L,L, .. Z_)=XN=3 — — Amen: + G(s), 
wo das Summenzeichen $ auf alle diejenigen complexen Primzahlen \/(«) 
sich erstreckt, welche den Bedingungen (6.), für irgend welche Werthe des 
k=1,2,3, ..A— 1 genügen. 
Das Produkt Z, Z, L, ... Z,_, ist, wie im $. 6. gezeigt worden ist, 
für den Werth s = 1 ein Faktor der Klassenanzahl aller idealen Zahlen in 
w der Determinante D(«), welche den bei (1.) angegebenen Werth hat. 
Dieses Produkt ist daher für s = 1 immer endlich, sobald D(«) die einzige 
Bedingung erfüllt, welche bei der Entwickelung dieser Klassenanzahl gemacht 
worden ist, nämlich, dafs die Determinante nicht eine vollständige Ate Po- 
tenz sei, in welchem Falle von complexen Zahlen in w gar nicht die Rede 
sein kann. Nach der Voraussetzung des Satzes ist aber D(«) niemals eine 
Ate Potenz, wenn nicht alle Exponenten 5, 5, b,, ... b,_, einzeln congru- 
ent Null sind, nach dem Modul A; darum ist das eine Glied der Summe $, 
für'welchkes 3=0,5,=0, d5d,=0, 5b_,=0ist, das einzige, welches 
für s = 1 nicht einen endlichen Werth behalten mufs. Wirft man nun alle 
