142 Kummer: über die allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten 
dene Primzahlen sind, welche alle primär genommen werden sollen, und 
die Exponenten m, m,, ... m,_, so beschaffen, dafs diese Potenzen wirklich 
werden, wenn die complexen Zahlen selbst ideal sind. Diese x + r wirk- 
lichen complexen Zahlen erfüllen die in dem Satze ausgesprochene Bedin- 
gung, dafs ein Produkt von Potenzen derselben nicht eine Ate Potenz sein 
kann, ohne dafs die Exponenten der Potenzen alle einzeln durch A theilbar 
sind. Wenn nämlich das Produkt: 
b b, b; Be, b, 
(14.) a. Ba) Bra), .. Duke) I) 
b 
a 7. 20) 
eine Ate Potenz sein soll, so müssen zunächst, weil f(«), f,(@), ... f._,(«) 
b 
weil m, m, ... m,_, nicht durch A theilbar sind; ferner mufs 5 ein Viel- 
m ımı 
dur 
Fı@) 
urr —1ı MR, _4 
verschiedene Primzahlen sind, 5,, 5 alle Vielfache von A sein, 
+19 *°* Turr—i 
faches von A sein, weil die Ate Potenz einer wirklichen complexen Zahl in « 
nothwendig einer nichteomplexen Zahl congruent ist nach dem Modul A und 
weil, wenn 5 nicht durch A theilbar ist, dieses Produkt selbst nicht für den 
Modul 9° einer nichtcomplexen Zahl congruent sein kann. Es bleibt also 
nur noch zu zeigen, dafs auch das Produkt 
6 1 
b, b, [2 
E,(e). E,c) .... E,_,(@) 
alle durch A theil- 
bar sind. Dieses wird am leichtesten mit Hülfe des in der genannten Ab- 
handlung pag. 134. gegebenen Ausdrucks des Logarithmus der Einheit E, («) 
gezeigt, nach welchem 
nicht eine Ate Potenz sein kann, ohne dafs ,, B,, ... 5 
k—1 
15) HE) =E- N WU NE %(@, mod. 2, 
ae 
2 
nl) zea+tYy” al a... Eye R 
Vermöge dieses Ausdrucks wird der Logarithmus des obigen Produkts con- 
gruent: 
(16.) FT b, 8, %e(k) vn b, 9: %.(@) ee RE, Bin, Kou-a(®) > 
nach dem Modul A, wo der Kürze wegen 
