und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahlist. 145 
$(2)' , welchen diese Charaktere zukommen. Die Anzahl der angebbaren 
Gesamtcharaktere, welche gleich ?**" ist, weil jeder der x + r Charaktere 
die A Werthe 0, 1,2,..%— 1 haben kann, wird durch die Congruenz (19.) 
genau auf den Aten Theil eingeschränkt, diese A“*""' Gesamtchararaktere 
geben aber ebensoviele wirklich vorhandene Gattungen, weil jedem dersel- 
‘ben ideale Zahlen in z angehören. 
Hiermit ist, unter der Voraussetzung, dafs unter je zwei primären 
complexen Primzahlen f(«) und &(«) das Reciprocitätsgesetz ) =(+@ 
gültig ist, der Satz bewiesen: 
(I.) Die Anzahl der wirklich vorhandenen Gattungen 
der idealen Zahlen in z ist genau gleich dem Aten Theile aller 
angebbaren Gesamtcharaktere. 
SR. 
Beweis der allgemeinen Reciprocitätsgesetze. 
In dem Beweise der allgemeinen Reeciprocitätsgesetze zwischen je zwei 
complexen Primzahlen in «, welcher sich auf die in dem Vorhergehenden 
entwickelte Theorie der complexen Zahlen in z, und namentlich auf die 
Eintheilung der idealen Zahlen dieser Theorie in die Gattungen stützt, sind 
diejenigen complexen Primzahlen in «, in Beziehung auf welche alle Ein- 
heiten Ate Potenzreste sind, die als complexe Primzahlen der zweiten Art 
bezeichneten, von denen, welche diese besondere Eigenschaft nicht haben, 
den complexen Primzahlen der ersten Art, zu unterscheiden und namentlich 
folgende drei Fälle besonders zu behandeln: erstens der Fall, wo beide zu 
vergleichenden complexen Primzahlen der ersten Art angehören, zweitens, 
wo eine der ersten Art, die andere der zweiten Art angehört und drittens, 
wo beide der zweiten Art angehören. 
Für den ersten dieser drei Fälle reicht es hin, nur solche complexe 
Zahlen in z anzuwenden, deren Determinante nicht mehr als einen idealen 
Primfaktor enthält. Es sei also: 
DiXe) = ea) flo) ; 
f(«) eine complexe Primzahl der ersten Art, welche primär angenommen 
Math. Kl. 1859. T 
